Oscilações e movimento harmônico com animações

 

Oscilações são importantes em seu próprio direito. Eles também estão envolvidos em ondas. Este clipe de filme mostra uma onda de torção - primeiro uma onda viajando, então uma onda estacionária. A oscilação de um ponto em que a onda está em destaque. Discutimos isso abaixo .

 

 


 

A física qualitativa de oscilação

No clipe de filme em câmera lenta à direita, a massa desliza sobre um trilho de ar. A faixa é perfurada com furos pequenos, através do qual flui o ar a partir do interior, onde a pressão é superior à atmosférica. Assim, a massa é suportado, como um hovercraft, sobre uma almofada de ar, e atrito é eliminada. Como a velocidade é pequena, a resistência do ar é muito pequena. Por conseguinte, a força não-negigible somente na direcção horizontal é que exercida pelas duas molas. Porque não há deslocamentos verticais, discutimos aqui apenas o deslocamento horizontal.

Na posição de equilíbrio (x = 0 no gráfico abaixo o clipe), as forças exercidas pelas duas molas são iguais em grandeza mas em direção oposta, de modo a força total é zero. À direita do equilíbrio, a força actua para acelerar a massa para a esquerda, evice-versa . (O gráfico é girado de 90 ° a partir de sua orientação normal para que possamos compará-lo com o movimento.)

Vamos começar (como fazer o gráfico e animação) com a massa para a direita de equilíbrio e em repouso. Vamos ver o que acontece quando eu liberá-lo:

  • Em primeiro lugar, a força da mola actua para a esquerda e da massa é acelerado para x = 0.
  • Quando atinge x = 0, ele tem uma velocidade e, portanto, um impulso para a esquerda. (Near equilbrium, as forças são pequenas, então não é uma região perto de x = 0 sobre o qual a velocidade muda pouco:. O gráfico x (t) é quase em linha reta)
  • Quando se chega em x = 0, por causa do seu impulso para a esquerda, overshoots, isto é, ele continua para viajar para a esquerda. Embora seja para a esquerda de x = 0, no entanto, a força da mola actua para a direita. Esta força gradualmente diminui a massa até que ela pare. O ponto em que ele pára, é claro, a sua deslocação máxima para a esquerda.
  • Uma vez que é parado no lado esquerdo do equilíbrio, a força da mola acelera para a direita, de modo a velocidade do impulso e para o aumento direita.
  • Quando se atinge o equilíbrio novamente, agora tem seu momento máximo rightwards.
  • Ele ultrapassa e continua para a direita. A força da mola actua agora para a esquerda, de modo que desacelera até parar no seu deslocamento rightwards máxima.
Porque não não negligenciável forças não conservativas ato, a energia mecânica é conservada . Por conseguinte, o sistema retorna ao seu estado inicial. O ciclo então se repete exatamente, por isso o movimento é periódico.

 

A análise quantitativa

Para molas lineares, isto leva a um movimento harmônico simples. A força F exercida pelas duas molas é F = - kx, onde k é a mola combinada constante para as duas molas (ver módulo de Young, a lei de Hooke e propriedades dos materiais ). Neste caso, k = k 1 + k 2 , onde k 1 e k 2 são as constantes das duas molas.A análise que se segue aqui é bastante breve. No entanto, fazemos uma análise quantitativa sobre os capítulos multimídia Oscilações e também resolver este problema como um exemplo de Equações Diferenciais . Há também uma página sobre os Cinemática do movimento harmônico simples .

Estados segunda lei de Newton que a aceleração d 2 x / dt 2  do sujeito massa m de força total F satisfaz F = md 2 x / dt 2  , o que dá a equação diferencial

  • md 2 x / dt 2   = - kx, ou 
    d 2 x / dt 2   = - ômega 2  x, onde ω 2   = k / m.
Resolvendo esta equação particular é descrita em detalhes noEquações Diferenciais página. No entanto, podemos verificar pela possibilidade de substituição que a solução é

x = A sin (ωt φ +),

onde A é a amplitude ea fase constante φ é determinada pelas condições iniciais. Discutimos estes abaixo.

 

 

As condições iniciais

No primeiro filme mostrado mostrado à direita, a massa é libertado a partir de descanso, de modo a amplitude é máxima (x = A) em t = 0, então a fase necessária constante é φ = π / 2. (Na verdade, para este caso particular, poderíamos dizer que a curva é uma função cos, em vez de um seno.)

1   = A sen (ωt + π / 2) = A cos (ωt)

 

 

No segundo filme mostrado à direita, no entanto, a massa é dado um início impulsiva, então a condição inicial aproxima velocidade máxima e X = 0 em t = 0. Isto requer φ = 0, de modo

2   = sen A (ωt + 0) = A sen (ωt)

Aqui começamos com uma velocidade inicial, que é

  • v 0   = dx 2 / dt = A = ωt pecado Aω
Note-se que a condição inicial determina tanto φ e A.

 

Em ambos estes grampos, uma linha de rotação (um animadodiagrama fasorial ) é usado para mostrar que um movimento harmónico simples é a projecção para uma dimensão de movimento circular. Isto é explicado em detalhe na cinemática do movimento harmônico simples em Physclips.

Os fasores são comumente usados ​​para facilitar os cálculos emcircuitos AC .

 

F frequência e frequência angular ω

Vimos acima que x = A sin (ωt + φ), onde ω 2   = k / m. A frequência cíclica é f = 1 / T, onde T é o período. A função seno passa por um ciclo completo, quando aumenta o seu argumento 2π, então nós solicitamos que (ω (t + T) + φ) - (ωt + φ) = 2π, então ωT = 2π, então

  • ω = 2π / T = 2πf = (k / m) ½  .

Este parâmetro é determinado pelo sistema: a massa específica e da mola usada. Para um sistema linear, a frequência é independente da amplitude (ver abaixo, no entanto, uma para sistema não-linear ).

Compare as oscilações mostradas nos dois clipes à direita. O primeiro usa um planador trilho de ar eo segundo utiliza dois planadores semelhantes, de modo a massa é dobrada. O período é aumentada em cerca de 40%, isto é . por um factor de √ 2, de modo a frequência é diminuída pelo mesmo factor.

 

Embora não seja tão fácil de ver no vídeo, à direita usamos molas mais duras com um maior valor de k. Aqui, o período é mais curto e, portanto, a frequência mais elevada do que em todos os exemplos anteriores.

 

 

Energia Mecânica em movimento harmônico simples

Porque sabemos que x, o deslocamento do equilíbrio, sabemos que a energia potencial U, que é apenas a de uma mola linear.Tomando o zero de energia potencial em x = 0, U = ½ kx 2 .Aqui,

U = ½ kx 2   = ½ k A 2  pecado 2  . (ωt φ +)

  • x = A sin (ωt φ +) para

Porque sabemos que v, a velocidade na direção x, nós sabemos que a energia cinética K.

K = ½ mv 2   = ½ m ω 2 A 2  cos 2  (ωt φ +).

  • v = ωA cos (ωt φ +) de modo
Adicionando energias cinéticas e potencial dá a energia mecânica , E.

 

Usando as expressões acima, e substituindo ω 2   = k / m, temos
  • E = U + K = ½ kx 2  + ½ mv 2   = ½ kA 2  cos 2  (ωt + φ) + ½ k A 2  sin 2  (ωt φ +).
Agora podemos usar o pecado identidade 2  θ + cos 2  θ = 1, que dá
  • E = U + K = ½ kA 2 ,

que é uma constante: ela não depende do tempo. Isto é devido a faixa de ar: aqui, não não negligenciável forças não conservativasato, de modo a energia mecânica é conservada . U (em púrpura, como x), K (em vermelho, como v) e E (a preto) são mostrados como funções do tempo no gráfico animado à direita: a energia mecânica é continuamente trocados entre potencial e cinética.

No extremos do movimento, em que | x | = A, a velocidade é zero, de modo

  • quando | x | = A, K = 0 e U = U max   = ½ kA 2   = E.
No equilbrium, x = 0 e portanto U = 0 e assim
  • quando x = 0, U = 0 e K = K max   = E.
Mas K max   = ½ mv 2 , então
  • K max  = ½ mv max 2    = ½ kA 2   = U max   = E.

O pêndulo simples

 

Este é um clipe de filme do Pêndulo de Foucault na Escola de Física da UNSW . O objectivo desta pêndulo é demonstrar que a terra não é um inercial , mas tem umaaceleração centrípeta devido à rotação da terra sobre o seu eixo. Porque a terra gira no sentido horário (visto do Sul), o plano do pêndulo de precessa muito lentamente para a esquerda. )

Uma massa m pende de uma luz cadeia, inextensível de comprimento L, que é grande + em comparação com as dimensões da massa, de modo a massa pode ser considerado como uma partícula. O deslocamento horizontal de m partir da posição de equilíbrio é de x, ea cadeia faz um ângulo θ com a vertical, como mostrado no desenho. Para o momento, consideramos apenas o caso em que θ é pequeno, então x << L.

Aplicando a segunda lei de Newton na direcção vertical ascendente, temos *

  • | T | cos θ - mg = ma y

Devido θ é pequena, a uma aceleração vertical y é negligenciável. Além disso, cos θ, que pode ser expandido como cos θ ≅ 1 - ½ θ 2  + ..., é de aproximadamente 1. Assim, a magnitude | T | da tensão na corda é de aproximadamente mg.

Aplicando a segunda lei de Newton na direção horizontal,

  • - | T | sin θ = ma x   = m d 2 x / dt 2 .
Então nós escrevemos pecado θ = x / L.

 

Substituindo na equação anterior e reorganizando dá

2 x / dt 2   = - ômega 2  x, onde definimos ω 2 = g / L.

  • d 2 x / dt 2   = - (g / L) x ou
Isto, é claro, é a equação diferencial que têm resolvido acima e em outro lugar . Sua solução é
  • x = A sen (ωt φ +), onde ω = (g / L) ½
Escrever T como o período (não deve ser confundido com a magnitude da tensão | T |), escreve-se 1 / T = f = ω/2π = (1/2π) (g / L) ½ .

Aqui, a energia potencial é gravitacional. Se tomarmos o ponto mais baixo do pêndulo (y = 0) como a referência de U, em seguida, fazendo as mesmas substituições como acima,

U ≅ ½ mgx 2 .

  • U = mGy = mgL (1 - cos θ) ≅ mgL (1 - (1 - ½ θ 2 )), de modo

Os termos de energia são ilustrados com histogramas à direita. A referência para a energia potencial é arbitrária, como já sugerimos na animação.

A importância desta condição é que a sua energia cinética de rotação pode ser negligenciada em comparação com a sua energia cinética de translação e de energia potencial gravitacional. Vamos também negligenciar a rotação lenta da terra.

* Note-se que, nesta equação, utilizou-se 'm' o símbolo de duas maneiras conceitualmente diferentes: o em mg m é a massa gravitacional , a quantidade que interage com campos gravitacionais. O m em MA é a massa inercial , a quantidade que resiste a aceleração. Veja este link para mais discussão.

O pêndulo não-linear

Os pêndulos são fáceis de fazer e seus períodos pode ser medido com precisão. Além disso, porque eles são apenas simples osciladores harmónicos na aproximação pequeno ângulo analisado acima, eles fornecem um bom sistema para exibir os efeitos de não-linearidade. Este é o propósito dos clipes de filme abaixo, que mostram como, para o oscilador não linear, o período varia com amplitude e, em amplitudes de grandes dimensões, o movimento não é sinusoidal.

 

Este é um exemplo de uma oscilação que é harmónica , mas não harmónico simples. Movimento periódico é o movimento que se repete: após um tempo T certos, o chamado período, as repetições de movimento, ou x (t + T) = x (t). Movimento periódico é chamado um movimento harmónico e pode ser expressa como uma soma de harmónicas. Vamos discutir harmônicos mais tarde, quando nos encontramos ondas estacionárias em uma dimensão. A média de tempo, verque é um espectro de som? e harmônica Como são harmônicos?

Oscilações amortecidas

Na prática, as forças não conservativas estão geralmente presentes, de modo a energia mecânica é perdido durante cada ciclo. O tipo de perda que é mais comumente analisado é que produzido por uma força proporcional à velocidade, mas na direcção oposta.

Assim, para esta força especial de amortecimento , devemos esperar uma oscilação cuja amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

  • Analisando esse caso em uma dimensão, poderíamos escrever
    • F perda   = - bv = - b dx / dt.
  • Vamos adicionar este termo para a análise apresentada  . A segunda lei de Newton é Σ F = md 2 x / dt 2  , o que dá a equação diferencial
  • 2 x / dt 2  + 2β dx / dt + ω 2  x = 0, onde ω 2   = k / m, e β b/2m =.

    • md 2 x / dt 2   = - kx - b dx / dt, ou
  • Podemos verificar pela possibilidade de substituição que esta equação diferencial tem uma solução
    • x = A e -βt  sin (ωt φ +), onde ω 2   = ω 0 2  - β 2 .
Forças proporcional à velocidade surgem a partir da viscosidade de fluidos newtonianos simples, se o movimento é suficientemente lenta. No entanto, as perdas encontradas na natureza são frequentemente mais complicada. No caso abaixo, o pêndulo é montado sobre um rolamento de rolos. A força de perda neste caso tem uma dependência de V que é menos forte do que proporcionalidade.

O que está acontecendo aqui? Porque é que a deterioração mais rápida do que exponencial? Os líquidos com moléculas de cadeia longa frequentemente apresentam não-Newtoniano viscosidade. Quando o gradiente de velocidade é suficientemente grande, as forças de cisalhamento tendem a alinhar as moléculas em ângulos rectos com o gradiente de velocidade, o que reduz a viscosidade. Imagino que a graxa no rolamento está se comportando desta maneira. O número relativamente limitado de perdas lineares em fases condensadas é matematicamente inconveniente, porque a equação linear é muito mais fácil de manipular analiticamente. Linear de amortecimento não existe, mas os sistemas reais raramente são tão simples.

Oscilações Forçadas

Na análise acima , incluímos a força de restauração (mola, no primeiro caso, a gravidade do pêndulo). Outros, dependentes do tempo forças podem também estar presentes. Poderíamos incluir estes como F (t) e escrever Analisando que caso em uma dimensão, gostaríamos de escrever

2 x / dt 2  + 2β dx / dt + ω 2  x = f (t) / m.

A força aplicada externamente, F (t) pode ser uma simples oscilação ou pode ter oscilante componentes. Isto dá origem ao fenômeno da ressonância.
 

 

 

Ressonância

O aparelho mostrado à direita tem um conjunto de pêndulos de comprimentos diferentes ligados ao mesmo eixo através hastes que rodam com o veio. Na extremidade distante do veio é um pêndulo com massa muito maior, de forma semelhante em anexo. A oscilação do pêndulo maciço tende a rodar o veio a uma frequência angular ω = (g / L) ½ , onde L é o seu comprimento. Esta rotação produz uma externa, a força dependente do tempo em cada um dos pêndulos pequenas, cada uma das quais tem a sua própria ω característica de frequência 0 . Enquanto o clipe de filme está baixando, fazer uma previsão do que você acha que vai acontecer com os pequenos pêndulos.

Como o trabalho feito ser esta força externa dependem de ω 0 ? Se a força é aplicada na mesma direcção que o movimento, em seguida, o trabalho feito será positivo. Se ω ≠ ω 0 , então podemos esperar que, por vários períodos, haveria alguns períodos para os quais a velocidade ea força externa estavam na direção smae, mas estes tendem a cancelar. Por outro lado, se ω ≅ ω 0 , e se a fase entre elas eram adequados, pode-se imaginar casos em que o trabalho feito ao longo de vários ciclos seriam de grande porte. ω 0 é chamado th frequência de ressonância e do sistema .

Os dois clipes abaixo mostram a importância da frequência e fase da força externa.

 

Pêndulo de Ressonância

Link para o clipe de filme

 
 

 

força não conservativas

Às vezes o termo perda, βω, é difícil de medir directamente, de modo em vez disso, medir o factor de qualidade , Q, definida como Q = ω 0 Δω /, a razão entre a frequência de ressonância para a largura de banda, onde Δω é a diferença entre as frequências que dar metade da potência máxima, ou amplitudes reduzidos por √ 2. Usando a expressão acima para A, os pontos de meia potência ocorrer quando ω 2  - ω 2  = 2βω. Resolver este quadrática dá ω = β ± √ (β 2 + ω 2 ). Para razoavelmente elevado Q, isto é, quando Δω << ω 0 , podemos usar a expansão binomial para dar ω ≅ ω 0 (1 ± β / ω 0 ), o que dá β ≅ 2ω 0 / Q. Este, em seguida, dá a amplitude em ressonância como A 0  ≅ F 0 Q/4mω 02 = F 0 / 4mω 0 Δω. Isso faz sentido qualitativo: a amplitude é, obviamente, grande para grandes e F m pequeno, é pequeno em alta freqüência quando não há tempo suficiente por ciclo para deslocar-se muito, e grande se a ressonância é forte, ou seja, se o fator Q é alto ou baixo a largura de banda.

Estas expressões aplicar a um sistema com perdas lineares, em que a força de dissipação é proporcional à velocidade, como é o caso para vicosity. As perdas não-lineares que muitas vezes encontra nas equações de rendimento que a prática (drag dinâmica, por exemplo) são bastante mais difíceis de resolver e não são tratados aqui. Na equação acima, φ é a fase em que x (t) está à frente de F (t). Em baixa freqüência (ω << ω 0 ), φ é quase zero: a força desprezível é necessária para acelerar a massa, então a força motriz simplesmente empurra a mola: F = kx. Inversamente, a alta frequência (ω >> ω 0 ), φ é perto de 180 ° e da força e de deslocamento estão em antifase. Em ressonância (ω = ω 0 ), φ = 90 ° ea força motriz está em fase com a velocidade.

Não discutimos aqui o comportamento transitório : a forma como o sistema responde quando a força externa é "ligado" ou "desligado". Exemplos são mostrados, no entanto, nos clipes de filme acima.

  • Vamos ser quantitativa, por adição de uma força externa (F 0  ωt sin) para a nossa  , o que produz a equação
  • 2 x / dt 2  + 2β dx / dt + ω 2  x = (1 / m) F 0  ωt pecado.

  • onde novamente ω 0 = k / m. Como está escrito, esta equação se aplica a uma força externa aplicada ao longo de um tempo muito longo: não fizemos menção de quando e como a força começa. Então, vamos considerar o que acontece no estado de repouso , o estado em que o trabalho média que está sendo feito por (F 0  sin ωt) é igual a taxa média na qual a energia está sendo dissipada pela  (F perda   = - bv = - (2β / m) dx / dt). Podemos verificar por substituição que a solução para esta equação é
    • x = A sen (ωt φ +), onde A = (F 0  / m) ( (ω 2  - ω 0 2 ) 2  + (2βω) 2 ) - ½      e onde φ tan = 2βω / (1 ​​- (ω / ω 0 ) 2 ).
  • Note-se que, neste estado quiescente, a amplitude é grande, se ω 0  ≅ ω 0 e se o termo perda, ωβ, é pequena, isto é . se as forças dissipativas não estão fazendo o trabalho a uma taxa grande. Em ressonância (isto é, quando ω = ω 0 ), a amplitude é A = F 0 / 2βωm.

Veja também os nossos experimentos com ressonância e oscilação forçada .

 


Ressonância em uma dimensão

Nós tratamos a massa sobre molas ea massa pendulm como se fossem partículas: objetos sem tamanho ou zero dimensões. O deslocamento de uma partícula pode ser escrita como x (t), em função do tempo sozinho. Para os objectos que não são estendidos completamente rígida, existe a possibilidade de oscilação com amplitudes e as fases que variam dentro do objecto. Um exemplo simples é uma seqüência ideal, estendido na direção x, cujo deslocamento transversal pode ser escrita como y (x, t).

 

Esta animação mostra uma onda de viajar para a (linha verde) à direita e outro, de igual frequência e amplitude, viajando para a esquerda (linha azul). Num meio linear, estes aumentam a dar uma onda estacionária, mostrado aqui como uma linha vermelha que representa (com a escala vertical exagerada) uma onda de uma cadeia fixada na posição das duas linhas verticais. As aplicações da física e musical de cordas são discutidos em cordas, ondas estacionárias e harmónicos do nosso site de Música Acústica .

O clipe de filme abaixo mostra uma onda num meio unidimensional.

 

As ondas neste clip são ondas de torção θ = θ (x, t). A linha recta através da imagem é uma tira de aço (uma lâmina de uma serra de fita), ao qual estão ligados os braços longos que tornam o deslocamento angular visível. Por conveniência, o campo gravitacional foi rodado de 90 ° neste clip.

Vamos estudar estes efeitos no capítulo sobre ondas estacionárias. Para o momento, porém, vamos analisar rapidamente a outros exemplos.

Ressonância em duas dimensões

Em uma placa fina no plano (x, y), que pode, por vezes excitar oscilações na direcção z, z = z (x, y, t). Ressonâncias em placas de produzir padrões Chladni .Veja também os nossos experimentos com ressonância e oscilação forçada .

 

Link para Chladni site para filme

 

Chladni padrão de um violino de volta

Ressonância em três dimensões

 

Em três dimensões, podemos exite oscilações com deslocamento ξ = ξ (x, y, z, t). Em geral, isso é duro para mostrar em uma tela bidimensional, exceto em animação. A queda de clipe de água abaixo à esquerda foi feita por Don Pettit em queda livre, na Estação Espacial Internacional. O movimento é complicada, mas lento devido a força de restauração é a tensão superficial da água, o que é bastante pequena nesta escala. O clipe vinculado abaixo à direita é um filme muito famoso, usado regularmente para lembrar os alunos de engenharia da importância de ressonâncias em estruturas.

 

 

 
Link para o clipe de filme
 
Link para o clipe de filme

fonte:http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/oscillations.htm (tradução automática do Google)

Bloqueando a seleção de texto em um site

Mais conhecimento em:

 

TUDO PARA PESQUISA, ACESSE AQUI O BUSCADOR ACADEMICO


 

sitemap