ADIÇÃO MATEMÁTICA

3 + 2 = 5, commaçãs , uma escolha popular em livros didáticos

A adição é uma operação matemática que representa a quantidade total de objetos juntos em uma coleção. Ele é representado pelo sinal de mais (+). Por exemplo, na imagem à direita, há 3 + 2 maçãs-intencionados três maçãs e duas maçãs juntos, o que é um total de 5 maçãs. Portanto, 3 + 2 = 5. Além de contar frutas, além também pode representar combinando outras grandezas físicas e abstratas utilizando diferentes tipos de números: os números negativos , frações , números irracionais ,vetores , decimais e muito mais.

Além segue vários padrões importantes. É comutativa , o que significa que a ordem não importa, e é associativa , o que significa que quando se adiciona mais de dois números, a ordem em que disso é realizado não importa (ver Soma ).Adição repetida de 1 é o mesmo que a contagem; adição de 0 não muda um número.Além também obedece a regras previsíveis relativas às operações conexas, como subtração e multiplicação .Todas estas regras pode ser comprovada , a começar com a adição de números naturais e generalizando-se através dos números reais e além. Gerais operações binárias que continuam esses padrões são estudadas emálgebra abstrata .

Realizando disso é uma das mais simples tarefas numéricas. A adição de números muito pequenos é acessível a crianças; a tarefa mais básica, 1 + 1, pode ser realizada por crianças tão novas como cinco meses e mesmo alguns animais. No ensino fundamental , os alunos são ensinados a acrescentar números na decimal sistema, começando com um dígito e combater progressivamente mais difíceis problemas. Auxílios mecânicos vão desde o antigo ábaco para o moderno computador , onde pesquisa sobre as implementações mais eficientes de adição continua até hoje.

Notação e terminologia

 

A adição é escrito usando o sinal de mais "+" entre os termos; isto é, em notação infix. O resultado é expresso com um sinal de igual. Por exemplo,

1 + 1 = 2  (Verbalmente, "um mais um é igual a dois")
2 + 2 = 4  (Verbalmente, "dois mais dois é igual a quatro")
3 + 3 = 6  (Verbalmente, "três mais três é igual a seis")
5 + 4 + 2 = 11 (Consulte "associatividade" abaixo )
3 + 3 + 3 + 3 = 12(Ver "multiplicação" abaixo )

Há também situações em que a adição é "entendido", embora nenhum símbolo aparece:

Além colunar:
5 + 12 = 17
  • Uma coluna de números, com o último número na coluna sublinhado indica, normalmente, que os números da coluna devem ser adicionados, com a soma escrito abaixo do número sublinhado.
  • Um número inteiro imediatamente seguido por uma fracção indica a soma dos dois, chamado um número misto . Por exemplo, 
          3½ = 3 + ½ = 3.5. 
    Esta notação pode causar confusão, já que na maioria dos outros contextos justaposição denota multiplicação vez.

A soma de uma série de números relacionados pode ser expressa atravésda notação sigma capital, que compacta denota iteração. Por exemplo,

\ Sum_ {k = 1} ^ a 5 ^ 2 ^ 2 = 1 + 2 + 3 ^ 2 ^ 4 + 2 ^ 2 ^ 2 + 5 = 55

Os números ou os objetos a serem adicionados além geral são chamados os termos , os adendos , ou as summands ; esta terminologia é transferida para o somatório de vários termos. Isto é para ser distinguido de factores , que são multiplicados . Alguns autores chamam o primeiro adendo aaugend . Na verdade, durante o Renascimento , muitos autores não consideram o primeiro adendo um "adendo" em tudo. Hoje, devido àpropriedade comutativa da adição, "augend" é raramente usada, e ambos os termos são geralmente chamados de adendos.

Tudo isso terminologia deriva Latina . " Adição "e" adicionar "são ingleses palavras derivadas do latim verboaddere , que por sua vez é um composto de anúncio "para" e ousar "para dar", a partir do proto-indo-europeu raizdeh₃- * "para dar" ; assim a adicionar é a dar a . Usando o gerundive sufixo -nd resultado em "adendo", "coisa a ser acrescentado". Da mesma forma a partir augere "para aumentar", obtém-se "augend", "coisa de ser aumentado".

Ilustração Redesenhado deThe Art of Nombryng , um dos primeiros textos aritméticas em inglês, no século 15

"Soma" e "summand" deriva do latim substantivo summa "o mais alto, o topo" e verbo associado summare . Isto é apropriado, não só porque a soma de dois números positivos é maior do que qualquer um, mas porque era uma vez comum adicionar para cima, ao contrário da prática moderna de adição para baixo, de modo que a soma era literalmente maior do que os adendos. Addere e summare remontam pelo menos a Boécio, se não mais cedo escritores romanos, como Vitruvius e Frontino; Boécio também usou vários outros termos para a operação de adição. Os posteriores termos Middle English "Adden" e "acrescentando que" foram popularizadas porChaucer .

Interpretações

A adição é usada para modelar inúmeros processos físicos. Mesmo para o caso simples de adição de números naturais , há muitas interpretações possíveis e até mesmo representações mais visuais.

Combinando conjuntos

AdditionShapes.svg

Possivelmente, a interpretação mais fundamental de adição reside na combinação sets:

  • Quando dois ou mais conjuntos disjuntos são combinadas em uma única coleção, o número de objetos na única coleção é a soma do número de objetos nas coleções originais.

Esta interpretação é fácil de visualizar, com pouco risco de ambiguidade. Também é útil em matemática superior; para a definição rigorosa que inspira, ver números naturais abaixo. No entanto, não é óbvio como se deve estender esta versão Além de incluir números fracionários ou números negativos.

Uma correção possível é considerar coleções de objetos que podem ser facilmente divididos, como tortas, ou, ainda melhor, hastes segmentadas. Em vez de apenas combinar conjuntos de segmentos, as hastes podem ser ligados de ponta a ponta, a qual ilustra uma outra concepção de adição: a adição de não as hastes, mas os comprimentos das hastes.

Estendendo um comprimento

A segunda interpretação de adição vem de estender um comprimento inicial por um determinado comprimento:

  • Quando um comprimento original é estendido por uma dada quantidade, o comprimento final é a soma do comprimento original e o comprimento da extensão.
Um número de linha de visualização da adição algébrica 2 + 4 = 6. Uma tradução por 2, seguido de uma tradução por 4 é a mesma que uma tradução de 6.
A visualização número-line da adição unary 2 + 4 = 6. A tradução por 4 é equivalente a quatro traduções por 1.

A soma de um + b pode ser interpretado como umaoperação de binário que combina um e b , em um sentido algébrico, ou pode ser interpretado como a adição de b mais unidades para um . De acordo com a última interpretação, as partes de uma soma de um + bdesempenham papéis assimétricos, e a operação deum + b é visto como a aplicação da operação unária +b para um . Em vez de chamar tanto a e b adendos, é mais apropriado chamar um a augend neste caso, uma vez que um desempenha um papel passivo. A vista unary também é útil quando se discute a subtração , porque cada operação de adição unary tem uma operação de subtração unary inverso, e vice-versa.

Propriedades

Comutatividade

4 + 2 = 2 + 4 com blocos

A adição é comutativa , o que significa que se pode inverter os termos de uma soma da esquerda para a direita, e o resultado é o mesmo que o último. Simbolicamente, se um e bsão dois números, em seguida,

um + b = b + um .

O fato de que a adição é comutativa é conhecida como a "lei comutativa da adição". Esta frase sugere que existem outras leis comutativos: por exemplo, há uma lei comutativa da multiplicação. No entanto, muitas operações binárias não são comutativos, como subtração e divisão, por isso é enganoso falar de uma "lei comutativa" inqualificável.

Associativity

2+ (1 + 3) = (2 + 1) com três hastes segmentadas

Uma propriedade de um pouco mais sutil de adição é a associatividade , que surge quando se tenta definir adição repetida. Caso a expressão

um + b + c "

ser definido para significar ( um + b ) + c ou um + ( b + c )? Essa adição é associativa nos diz que a escolha da definição é irrelevante. Para todos os três números de um , b , e c , é verdade que

a + b ) + c = um + ( b + c ).

Por exemplo, (1 + 2) + = 3 3 + 3 = 6 = 1 = 1 + 5 + (2 + 3). Nem todas as operações são associativas, assim, em expressões com outras operações, como subtração, é importante para especificar a ordem das operações.

Elemento de identidade

5 + 0 = 5 com bolsas de pontos

Quando a adição de zero para um número qualquer, a quantidade não muda; zero é oelemento de identidade para além disso, também conhecida como a identidade aditivo. Em símbolos, para qualquer um ,

um + 0 = 0 + um = um .

Esta lei foi identificado pela primeira vez em de Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta em 628 dC, embora ele escreveu como três leis distintas, dependendo se um é negativo, positivo, ou zero se, e ele usa palavras em vez de símbolos algébricos. Mais tarde matemáticos indianos refinou o conceito; por volta do ano 830, Mahavira escreveu, de "zero torna-se o mesmo que o que é adicionado a ele", correspondente à declaração unary 0 + a = a . No século 12, Bhaskara escreveu: "Em adição de cifra, ou subtração de que, a quantidade, positivo ou negativo, permanece a mesma", correspondente à declaração unary a + 0 = a .

Sucessor

No contexto de números inteiros, a adição de um desempenha também um papel especial: para qualquer número inteiro um , o número inteiro ( a + 1) é o menor número inteiro maior que um , também conhecido como o sucessor de um . Devido a essa sucessão, o valor de alguns a + b também pode ser visto como o b ^ {th}sucessor de um , fazendo disso sucessão reiterou.

Unidades

Para adicionar numericamente quantidades físicas com unidades, eles devem primeiro ser expresso com unidades comuns. Por exemplo, se uma medida de 5 pés é estendida por 2 polegadas, a soma é de 62 polegadas, uma vez que 60 polegadas é sinônimo de 5 pés. Por outro lado, é geralmente inútil tentar adicionar 3 metros e 4 metros quadrados, uma vez que essas unidades são incomparável; esse tipo de consideração é fundamental na análise dimensional.

Realizando além

Capacidade inata

Estudos sobre o desenvolvimento matemático começando por volta da década de 1980 têm explorado o fenômeno da habituação: bebês olham mais para situações que são inesperados. Um experimento seminal porKaren Wynn, em 1992, envolvendo de Mickey Mouse bonecos manipulados por trás de uma tela demonstraram que crianças de cinco meses de idade, esperar 1 + 1 para ser 2, e eles são comparativamente surpreso quando uma situação física parece implicar que 1 + 1 é ou 1 ou 3. Este achado tem sido desde afirmado por uma variedade de laboratórios utilizando metodologias diferentes. Outro experimento 1992 com mais velhoscrianças, entre 18 a 35 meses, explorou o seu desenvolvimento do controle motor, permitindo-lhes recuperar de pingue-pongue bolas de uma caixa; o mais jovem respondeu bem para pequenos números, enquanto que os indivíduos mais velhos foram capazes de calcular resume a 5.

Até mesmo alguns animais não-humanos mostram uma capacidade limitada para adicionar, especialmenteprimatas. Em um experimento de 1995 imitando 1992 resultado do Wynn (mas usando berinjelas em vez de bonecas), macacos rhesus e micos cottontop obteve resultados semelhantes aos bebês humanos. Mais dramaticamente, depois de ter sido ensinado os significados dos números arábicos de 0 a 4, um chimpanzé foi capaz de calcular a soma dos dois números, sem uma formação complementar.

Descobrindo além de filhos

Normalmente, as crianças primeiro dominar a contagem. Quando dado um problema que requer que dois itens e três itens ser combinado, as crianças modelar a situação com objetos físicos, muitas vezes os dedos ou um desenho, e, em seguida, contar o total. Como eles ganham experiência, eles aprendem ou descobrir a estratégia de "contando-on": pediu para encontrar dois mais três, as crianças contam 02:03, dizendo que "três, quatro, cinco "(geralmente assinalando fora de dedos), e chegar a cinco . Esta estratégia parece quase universal; as crianças podem facilmente buscá-lo a partir de colegas ou professores. A maioria descobri-lo de forma independente. Com mais experiência, as crianças aprendem a adicionar mais rapidamente através da exploração da comutatividade da adição, contando-se a partir do número maior, neste caso começando com três e contando "quatro, cinco . " Eventualmente, as crianças começam a recordar certos fatos de adição ("títulos de números "), seja através de experiência ou memorização. Uma vez que alguns fatos são comprometidos com a memória, as crianças começam a derivar fatos desconhecidos partir dos já conhecidos.Por exemplo, uma criança pediu para adicionar seis e sete pode saber que 6 + 6 = 12 e, em seguida, que a razão 6 + 7 é mais uma, ou 13. Tais fatos derivados podem ser encontradas muito rapidamente e estudante do ensino mais elementar, eventualmente contar com um mistura de fatos memorizados e derivados para adicionar fluentemente.

Sistema decimal

O pré-requisito para adição na decimal sistema é o recall fluente ou derivação dos 100 de um dígito "fatos de adição". Pode-se memorizar todos os fatos de forma mecânica, mas as estratégias baseadas em padrões são mais esclarecedor e, para a maioria das pessoas, mais eficiente:

  • Propriedade comutativa : mencionado acima, usando o padrão de a + b = b + a reduzir o número de "contas de somar" 100-55.
  • Um ou mais de dois : Adicionando 1 ou 2 é uma tarefa de base, e pode ser realizado através de contagem ou, em última análise, intuição.
  • Zero : Uma vez que o zero é a identidade aditivo, acrescentando zero é trivial. No entanto, no ensino de aritmética, alguns alunos são introduzidos para além como um processo que sempre aumenta os adendos;problemas de palavras pode ajudar a racionalizar a "exceção" do zero.
  • Duplas : Adicionando um número para si está relacionada com a contagem por dois e para a multiplicação .Duplas fatos formar uma espinha dorsal para muitos fatos relacionados, e os alunos encontrá-los relativamente fácil de entender.
  • Perto-doubles : somas como 6 + 7 = 13 pode ser rapidamente derivado do fato de duplas 6 + 6 = 12 pela adição de mais um, ou a partir de 7 + 7 = 14, mas subtraindo um.
  • Cinco e dez : Verbas do formulário 5 + x e 10 + x geralmente são memorizados cedo e pode ser utilizada para obter outros fatos. Por exemplo, 6 + 7 = 13 pode ser derivada a partir de 5 + 7 = 12 por adição de mais um.
  • Fazer dez : uma estratégia avançada usa 10 como um intermediário para somas envolvendo 8 ou 9; por exemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 + 4 = 10 = 14.

Como os alunos mais velhos, eles cometem mais fatos à memória, e aprender a derivar outros fatos de forma rápida e fluente. Muitos alunos nunca cometer todos os fatos para a memória, mas ainda pode encontrar qualquer fato básico rapidamente.

O algoritmo de padrão para a adição de números Multidigit é alinhar os adendos verticalmente e adicionar as colunas, a partir de uma das colunas do lado direito. Se uma coluna excede dez, o dígito extra é " transportados "para a coluna seguinte. Uma estratégia alternativa começa a adição do algarismo mais significativo sobre a esquerda; essa rota torna o transporte um pouco desajeitado, mas é mais rápido no sentido de conseguir uma estimativa aproximada da soma. Existem muitos outros métodos alternativos.

Informática

Adição com um op-amp. Veja resumo amplificador para mais detalhes.

Computadores analógicos trabalhar diretamente com grandezas físicas, para que seus mecanismos de adição de depender da forma de adendos. A víbora mecânica pode representar dois adendos como as posições dos blocos deslizantes, caso em que eles podem ser adicionados com uma média alavanca. Se os adendos são as velocidades de rotação de dois veios, que pode ser adicionado com umdiferencial. A víbora hidráulica pode adicionar as pressões em duas câmaras, explorando a segunda lei de Newton para equilibrar as forças em um conjunto de pistões. A situação mais comum para um computador de uso geral é análogo ao adicionar duas voltagens (referenciado ao solo); isto pode ser conseguido com cerca de um resistor de rede, mas um design melhor explora um amplificador operacional.

A adição é também fundamental para a operação de computadores digitais , onde a eficiência da adição, em particular o mecanismo de transporte, é uma limitação importante para o desempenho global.

Parte de Charles Babbagemotor diferença incluindo a adição e realizar mecanismos

Adicionando máquinas, calculadoras mecânicas, cuja função principal era disso, foram os primeiros computadores automáticos, digitais. 1623 Calculando Relógio de Wilhelm Schickard poderia somar e subtrair, mas foi severamente limitada por um mecanismo de carry estranho. Queimado durante a sua construção em 1624 e desconhecida para o mundo por mais de três séculos, foi redescoberto em 1957 e, portanto, não teve impacto sobre o desenvolvimento de calculadoras mecânicas. Blaise Pascalinventou a calculadora mecânica em 1642 com um mecanismo engenhoso carry assistida por gravidade . calculadora de Pascal foi limitado pelo seu mecanismo de transporte em um sentido diferente: suas rodas virou apenas um caminho, para que ele pudesse adicionar mas não subtrair, exceto pelométodo de complementos. Por 1674 Gottfried Leibniz fez o primeiro multiplicador mecânico; ele ainda era alimentado, se motivadas não, por adição.

" somador completo "circuito lógico que adiciona dois dígitos binários, A e B , juntamente com uma entrada de transporte em , produzindo o bit de soma, S , e uma saída de transporte, fora .

Adders executar disso inteiro em computadores eletrônicos digitais, geralmente usando aritmética binária . A arquitectura mais simples é o somador carry por ondulação, que segue o algoritmo padrão de vários dígitos. Uma ligeira melhoria é o projeto carry salto, novamente seguindo a intuição humana; um não executa todo o carrega no cálculo 999 + 1, mas ignora o grupo de 9s e salta para a resposta.

Desde que calcular um dígitos de cada vez, os métodos acima são muito lento para a maioria dos fins modernas. Nos computadores digitais modernos, além inteiro é tipicamente a instrução aritmética mais rápido, mas tem o maior impacto sobre o desempenho, uma vez que está na base de todos os operações de ponto flutuante, bem como tais tarefas básicas, como geração de endereço durante o acesso à memória e buscandoinstruções durante a ramificação. Para aumentar a velocidade, design moderno calcular dígitos em paralelo; estes esquemas de ir por nomes como transportar select, transportar lookahead, eo pseudocarry Ling. Quase todas as implementações modernas são, de fato, os híbridos destes três últimos projetos.

Ao contrário disso em papel, além de um computador muitas vezes muda os adendos. No antigo ábaco eadicionando bordo, ambos os adendos são destruídas, deixando apenas a soma. A influência do ábaco no pensamento matemático foi forte o suficiente que os primeiros latino textos frequentemente afirmado que, no processo de adição de "um número para um número", ambos os números desaparecem. Nos tempos modernos, a instrução ADD de um microprocessador substitui o augend com a soma, mas preserva o adendo.Em uma linguagem de programação de alto nível, avaliando a + b não muda um ou b ; se o objetivo é substituirum com a soma isto deve ser explicitamente solicitado, geralmente com a afirmação de um = a + b . Algumas linguagens, como C ou C ++ permitem que isso seja abreviado como um + = b .

A adição de números naturais e reais

Para provar as propriedades usuais de adição, é preciso primeiro definir disso para o contexto em questão. A adição é definida em primeiro lugar na números naturais . Na teoria dos conjuntos , além é então estendido para conjuntos progressivamente maiores, que incluem os números naturais: os números inteiros , os números racionais e os números reais . (Em educação matemática, frações positivas são adicionados antes de números negativos são ainda considerados; este é também o percurso histórico)

Números naturais

Existem duas formas populares para definir a soma de dois números naturais um e b . Se alguém define números naturais a ser os cardinalities de conjuntos finitos, (a cardinalidade de um conjunto é o número de elementos do conjunto), então é apropriado para definir a sua soma da seguinte forma:

  • Deixe-N ( S ) ser a cardinalidade de um conjunto S . Tomar dois conjuntos disjuntos A e B , com N ( A ) = ume N ( B ) = b . Em seguida, um + b é definido como  N (A \ cup B).

Aqui, A  U  B é a união de A e B . Uma versão alternativa desta definição permite A e B , possivelmente, se sobrepõem e, em seguida, leva a sua união disjunta, um mecanismo que permite que os elementos comuns que devem ser separados e, portanto, contado duas vezes.

A outra definição popular é recursiva:

  • Vamos + ser o sucessor de n , que é o seguinte número n os números naturais, por isso 0 + = 1, 1 + 2 =.Definir a + 0 = a . Definir a soma geral de forma recursiva por um + ( + ) = ( a + b ) + . Daí 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + 1 = + = 2.

Novamente, existem pequenas variações sobre esta definição na literatura. Tomada literalmente, a definição acima é uma aplicação do teorema de recursão no poset 2 . Por outro lado, algumas fontes preferem usar um Teorema de recursão restrita que só se aplica ao conjunto dos números naturais. Uma então considera um ser temporariamente "fixo", aplica-se a recursividade no b para definir uma função " um + ", e pastas de estas operações unários para todos um para formar a operação binária completa.

Esta formulação recursiva de adição foi desenvolvido por Dedekind já em 1854, e ele iria expandir sobre ele nas décadas seguintes. Ele provou as propriedades associativa e comutativa, entre outros, através de indução matemática; para exemplos de tais provas indutivas, ver Adição de números naturais .

Inteiros

Definindo (-2) + 1 utilizando apenas a adição de números positivos: (2-4) + (3-2) = 5-6.

A concepção mais simples de um número inteiro que é a mesma consiste num valor absoluto (que é um número natural) e um sinal (em geral, querpositiva ou negativa ). O inteiro zero é um terceiro caso especial, não sendo nem positivo nem negativo. A definição correspondente de adição deve proceder por casos:

  • Para um inteiro n , vamos | n | o seu valor absoluto. Deixe um e b ser inteiros. Se qualquer um ou b é zero, tratá-la como uma identidade. Seum e b são ambos positivos, definir um + b = | a | + | b |. Se um e b são ambos negativos, definir um + b = - (| um | + | b |). Se um e b têm diferentes sinais, definir um + b como a diferença entre | um | e | b |, com o sinal do termo de valor absoluto é maior.

Embora essa definição pode ser útil para problemas concretos, é muito complicado para produzir elegantes provas gerais; há também muitos casos a considerar.

Uma concepção muito mais conveniente dos inteiros é a construção do grupo Grothendieck. A observação essencial é que cada número inteiro pode ser expressa (não exclusivamente) como a diferença de dois números naturais, de modo que nós podemos também definir um número inteiro como a diferença de dois números naturais. A adição é, então, definida como sendo compatível com subtracção:

  • Dado dois inteiros um - b e c - d , onde um , b , c , e d são números naturais, define ( um - b ) + ( c - d ) = ( um + c ) - ( b + d ).

Números racionais (frações)

A adição de números racionais podem ser calculados com base no mínimo denominador comum, mas uma definição conceitualmente mais simples envolve a adição inteiro só e multiplicação:

  • Definir    \ Frac ab + \ frac cd = \ frac {ad + bc} {} bd.

A comutatividade e associatividade da adição racional é uma consequência fácil de as leis da aritmética inteira.Para uma discussão mais rigorosa e geral, ver campo de frações .

Números reais

Adicionando π 2 / 6 e e usando cortes de Dedekind rationals

Uma construção comum do conjunto dos números reais é a conclusão de Dedekind o conjunto dos números racionais. Um número real é definido como sendo um corte de Dedekind rationals: um conjunto não vazio de rationals que está fechado para baixo e não tem maior elemento. A soma dos números reais a e b é definida elemento por elemento:

  • Definir a + b = \ {q + r \ mid q \ in a, r \ in b \}.

Esta definição foi publicado pela primeira vez, em uma forma ligeiramente modificada, por Richard Dedekind em 1872. O comutatividade e associatividade da adição real são imediatos;definição do número real 0 a ser o conjunto dos racionais negativos, é facilmente visto como a identidade aditiva. Provavelmente a parte mais complicada desta construção pertencente a adição é a definição de inversos aditivos.

Adicionando π 2 / 6 e e usando seqüências de Cauchy de rationals

Infelizmente, lidar com a multiplicação dos cortes de Dedekind é um pesadelo caso-a-caso semelhante à adição de inteiros assinados. Outra abordagem é a métrica de realização os números racionais. Um número real é essencialmente definido como o limite de uma sequência de Cauchy racionais, Lim um n . A adição é definida termo a termo:

  • Definir \ Lim_na_n + \ lim_nb_n = \ lim_n (a_n + b_n).

Esta definição foi publicada pela primeira vez por Georg Cantor , também em 1872, embora o seu formalismo foi um pouco diferente. É preciso provar que esta operação é bem definida, lidar com sequências co-Cauchy. Uma vez que a tarefa é feita, todas as propriedades da adição real, siga imediatamente das propriedades dos números racionais. Além disso, as outras operações aritméticas, incluindo multiplicação, têm, definições análogas simples.

Generalizações

Há muitas coisas que podem ser adicionados: números, vetores, matrizes, espaços, formas, conjuntos, funções, equações, cordas, correntes ... - Alexander Bogomolny

Há muitas operações binárias que podem ser vistos como generalizações da operação de adição sobre os números reais. O campo da álgebra abstrata é centralmente preocupados com tais operações generalizadas, e eles também aparecem na teoria dos conjuntos e teoria da categoria.

Adição em álgebra abstrata

Em álgebra linear , um espaço vectorial é uma estrutura algébrica que permite a adição de quaisquer doisvectores e os vectores para dimensionamento. Um espaço vetorial familiar é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais; o par ordenado ( um , b ) é interpretado como um vector da origem do plano euclidiana para o ponto ( a , b ) no plano. A soma dos dois vectores é obtida pela adição suas coordenadas individuais:

a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ).

Esta operação de adição é central para a mecânica clássica , em que vetores são interpretadas como forças .

Em aritmética modular , o conjunto de inteiros módulo 12 tem doze elementos; ele herda uma operação de adição de números inteiros que é central para a teoria dos conjuntos musical. O conjunto de inteiros módulo 2 tem apenas dois elementos; a operação de adição ele herda é conhecido na lógica booleana como a " função exclusiva ou ". Em geometria , a soma de duas medidas angulares é muitas vezes considerado como sendo a sua soma como números reais modulo 2π. Isso equivale a uma operação de adição no círculo , que por sua vez se generaliza para operações de adição on many-dimensional tori .

A teoria geral da álgebra abstrata permite uma operação "adição" para ser qualquer associativa e comutativaoperação em um set. Básicos estruturas algébricas com uma tal operação de adição incluem monoids comutativa e grupos abelianos.

Adição na teoria dos conjuntos e teoria da categoria

A generalização de longo alcance da adição de números naturais é a adição de números ordinais e cardinais números na teoria dos conjuntos. Estes dão duas generalizações diferentes de adição de números naturais aotransfinito. Diferente da maioria das operações de adição, a adição de números ordinais não é comutativa. A adição de números cardinais, no entanto, é uma operação conmutativo intimamente relacionado com aoperação de união separado.

Em teoria da categoria, união disjunta é visto como um caso particular da operação coproduct, e co-produtos gerais são, talvez, a mais abstrata de todas as generalizações de adição. Alguns co-produtos, como soma diretasoma Wedge , são nomeados para evocar a sua ligação com a adição.

Operações relacionadas

Aritmética

A subtracção pode ser pensado como um tipo de adição, isto é, a adição de um aditivo inversa. A subtração é em si uma espécie de inverso para além disso, em que a adição de x e subtraindo x são funções inversas .

Dado um conjunto com uma operação de adição, nem sempre é possível definir uma operação de subtração correspondente no set; o conjunto dos números naturais é um exemplo simples. Por outro lado, uma operação de subtracção determina unicamente uma operação de adição, um aditivo operação inversa, e um aditivo de identidade; por este motivo, um grupo de aditivos pode ser descrito como um conjunto que é fechado sob subtracção.

A multiplicação pode ser pensado como adição repetida. Se um único termo x aparece em uma soma n vezes, então a soma é o produto de n e x . Se n não é um número natural , o produto ainda pode fazer sentido; por exemplo, a multiplicação por -1 produz o aditivo inversa de um número.

A régua de cálculo circular

Nos números reais e complexos, adição e multiplicação podem ser trocados pela função exponencial :

um + b = um b .

Essa identidade permite a multiplicação de ser realizado através de consulta a tabela de logaritmos e computação adição à mão; ele também permite a multiplicação de uma régua de cálculo. A fórmula ainda é uma boa aproximação de primeira ordem no contexto mais amplo de grupos de Lie, onde se refere a multiplicação de elementos infinitesimais de grupo com adição de vetores na associado álgebra de Lie.

Há ainda mais generalizações de multiplicação que a adição. Em geral, as operações de multiplicação sempre distribuir mais além; este requisito é formalizada na definição de um anel.Em certos contextos, tais como os números inteiros, distribuitivamente sobre adição e a existência de uma identidade multiplicativo é suficiente para determinar unicamente a operação de multiplicação. A propriedade distributiva também fornece informações sobre adição; através da expansão do produto (1 + 1) ( a  +  b ) em ambos os sentidos, conclui-se que a adição é forçado a ser comutativa. Por esta razão, além do anel é conmutativo em geral.

Divisão é uma operação aritmética remotamente relacionado a adição. Uma vez que um / b = um ( -1 ), a divisão é distributiva direita em relação à adição: ( a + b ) / c = um / c + b / c . No entanto, a divisão não é deixado distributiva sobre a adição; 1 / (2 + 2) não é o mesmo que 1/2 + 1/2.

Ordenação

Log-log terreno de x  + 1 e max ( x , 1) a partir de x = ,001-1000

operação máxima "max ( um , b ) "é uma operação semelhante à adição binária. Na verdade, se dois números não negativos um e b são de diferentes ordens de grandeza, em seguida, a sua soma é aproximadamente igual ao seu máximo. Essa aproximação é extremamente útil nas aplicações da matemática, por exemplo, em truncando série de Taylor . No entanto, apresenta uma dificuldade permanente, em análise numérica, essencialmente, uma vez que "max" não pode ser invertida. Se b é muito maior do que um , em seguida, um cálculo simples de ( a + b ) - b pode acumular uma inaceitável erro de arredondamento, talvez até mesmo retornar zero. Ver também a perda de significado .

A aproximação se torna exato em uma espécie de limite infinito; se qualquer um ou b é um infinito número cardinal , sua soma cardinal é exatamente igual ao maior dos dois. Assim, não há nenhuma operação de subtração de cardeais infinitos.

Maximização é comutativa e associativa, como adição. Além disso, uma vez que além preserva a ordenação de números reais, além distribui ao longo do "máximo", da mesma maneira que a multiplicação distribui sobre adição:

um + max ( b , c ) = max ( um + b , um + c ).

Por estas razões, em geometria tropical um substitui multiplicação com adição e além com a maximização.Neste contexto, a adição é chamado "multiplicação tropicais", a maximização é chamado de "adição tropical", e o tropical "identidade aditivo" é infinito negativo. Alguns autores preferem substituir disso com minimização;então a identidade aditivo é infinito positivo.

Amarrando estas observações em conjunto, além tropical é aproximadamente relacionada a adição regular através do logaritmo :

log ( a + b ) ≈ max (log um , faça o login b ),

que se torna mais precisa como a base dos logaritmos aumenta. A aproximação pode ser feita exatamente por extrair uma constante h , nomeado por analogia com a constante de Planck da mecânica quântica , e tendo o "limite clássico ", como h tende a zero:

\ Max (a, b) = \ lim_ {h \ a 0} h \ log (e ^ {a / h + e ^} {b / h}).

Neste sentido, a operação máximo é uma dequantized versão de adição.

Outras maneiras de adicionar

Incrementação , também conhecida como a operação sucessor, é a adição de 1 a um número.

Soma descreve a adição de muitos números arbitrariamente, normalmente mais do que apenas dois. Ele inclui a ideia da soma de um número único, que é por si só, e a soma vazio, que é de zero . Uma soma infinita é um procedimento delicado conhecida como uma série.

Contando um conjunto finito é equivalente à soma 1 sobre o conjunto.

Integração é uma espécie de "soma" ao longo de um contínuo, ou mais precisamente e, geralmente, mais de um diferenciável colector . A integração ao longo de um colector de dimensão zero reduz a soma.

Combinações lineares combinar multiplicação e soma; eles são somas em que cada termo tem um multiplicador, geralmente um verdadeiro ou complexo número. Combinações lineares são especialmente úteis em contextos em que a adição simples violaria alguma regra de normalização, como a mistura de estratégias em teoria dos jogos ou superposição de estados na mecânica quântica .

Convolution é usado para adicionar dois independentes variáveis ​​aleatórias definidas por funções de distribuição . Sua definição usual combina integração, subtração e multiplicação. Em geral, a convolução é útil como um tipo de adição do lado do domínio; pelo contrário, a adição de vectores é uma espécie de adição do lado gama.

Na literatura

  • No capítulo 9 de Lewis Carroll do Through the Looking-Glass , a Rainha Branca pergunta a Alice, "E você faz Addition? ... O que é um e um e um e um e um e um e um e um e um e um?" Alice admite que ela perdeu a conta, e a Rainha Vermelha declara: "Ela não pode fazer Addition".
  • Em de George Orwell Nineteen Eighty-Four , o valor de 2 + 2 é questionada; o Estado alega que se declara 2 + 2 = 5, então é assim. Veja Dois mais dois são cinco para a história desta idéia.
 
fonte: http://schools-wikipedia.org/

 

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