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Tabelas aritméticas para crianças, Lausanne, 1835ARIT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ARITMÉTICA DEFINIÇÃO

 

Aritmética ou arithmetics (do grego palavraἀριθμός, arithmos " número ") é o ramo mais antigo e mais elementar de matemática , usados ​​por quase todos, para tarefas que vão desde simples do dia-a-dia a contar para avançados de ciência e negócios cálculos. Ele envolve o estudo de quantidade , especialmente como resultado de operações que combinam números. No uso comum, refere-se às propriedades mais simples quando se usa as tradicionais operações de adição , subtração , multiplicação e divisão com menores valores de números. Profissionais matemáticos , por vezes, usam o termo aritmética (superior) quando se refere a resultados mais avançados relacionados com a teoria dos números , mas isso não deve ser confundido com aritmética elementar .

História

A pré-história da aritmética é limitada a um pequeno número de artefatos que podem indicar concepção de adição e subtração, o mais conhecido é o osso Ishango da África Central , que data de algum lugar entre 20.000 e 18.000 aC, embora a sua interpretação é contestada.

Os primeiros registros escritos indicam os egípcios e babilônios usado todas as operações aritméticas elementares tão cedo quanto 2000 aC. Estes artefactos nem sempre revelar o processo específico utilizado para a resolução de problemas, mas as características da nomeadamente sistema de numeração influenciar fortemente a complexidade dos métodos. O sistema de hieróglifos para numerais egípcios, como os posterioresalgarismos romanos , descendente de marcas de registro utilizados para contagem. Em ambos os casos, essa origem resultaram em valores que usaram um decimal base, mas não incluem a notação posicional. Cálculos complexos com algarismos romanos necessária a assistência de uma placa de contagem ou o ábaco romano para obter os resultados.

Os primeiros sistemas numéricos que incluíram notação posicional não eram decimal, incluindo o sistema sexagesimal (base 60) para números babilônicos e do sistema vigesimal (20 base) que definiu numerais Maya.Devido a este conceito de valor lugar, a capacidade de reutilizar os mesmos dígitos para valores diferentes contribuíram para métodos mais simples e mais eficientes de cálculo.

O desenvolvimento histórico contínuo de aritmética moderna começa com a civilização helenística da Grécia antiga, embora tenha se originado muito mais tarde do que a Babilónia e exemplos egípcios. Antes das obras de Euclides cerca de 300 aC, os estudos gregos em matemática sobreposto com convicções filosóficas e místicas. Por exemplo, Nicômaco resumiu o ponto de vista do anterior abordagem de Pitágoras a números, e suas relações com o outro, em sua Introdução à Aritmética .

Numerais gregos, derivadas do sistema egípcio hierático, também faltou notação posicional, e, portanto, imposta a mesma complexidade sobre as operações básicas de aritmética. Por exemplo, o antigo matemáticoArquimedes dedicou toda a sua obra The Sand Reckoner apenas a elaboração de uma notação para um determinado número inteiro grande.

O desenvolvimento gradual de algarismos hindu-arábicos elaborada de forma independente o conceito de valor local e notação posicional, que combinou os métodos mais simples para os cálculos com uma base decimal e a utilização de um dígito que representa a zero . Isso permitiu que o sistema para representar de forma consistente, grandes e pequenos números inteiros. Esta abordagem acabou substituído todos os outros sistemas. No início do século 6 dC, o matemático indiano Aryabhata incorporada uma versão existente deste sistema em seu trabalho, e experimentou com diferentes notações. No século 7, Brahmagupta estabelecido o uso de zero como um número separado e determinou os resultados para multiplicação, divisão, adição e subtração de zero e todos os outros números, com exceção do resultado da divisão por zero. Seu contemporâneo, o bispo sírio Severus Sebokht descreveu a excelência deste sistema como "... métodos valiosos de cálculo que ultrapassam descrição". Os árabes também aprendeu este método novo e chamou-lhehesab .

De Leibniz pisada Reckoner foi a primeira calculadora que poderia realizar todas as quatro operações aritméticas.

Embora o Codex Vigilanus descrita uma forma primitiva de algarismos arábicos (omitindo zero) por 976 AD, Fibonacci foi o principal responsável por espalhar a sua utilização em toda a Europa após a publicação de seu livroLiber Abaci em 1202. Ele considerou o significado desta "nova" representação de números, que ele denominou o "Método dos índios" (Latin Modus Indorum ), tão fundamental que todos os fundamentos matemáticos relacionados, incluindo os resultados de Pitágoras eo algorism descrevendo os métodos para a realização de cálculos reais, eram "quase um erro" em comparação.

Nos Idade Média , a aritmética era uma das sete artes liberais ensinadas nas universidades.

O florescimento da álgebra no medieval islâmica mundo e no Renascimento Europa era uma conseqüência da enorme simplificação da computação através decimal notação.

Existem vários tipos de ferramentas para auxiliar nos cálculos numéricos. Exemplos incluem réguas de cálculo (por multiplicação, divisão, e trigonometria) e nomographs além da elétrica calculadora .

As operações aritméticas

As operações aritméticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, embora este assunto também inclui operações mais avançadas, como manipulações de percentagens , raízes quadradas , exponenciação efunções logarítmicas . A aritmética é realizada de acordo com uma ordem de operações. Qualquer conjunto de objetos sobre os quais todas as quatro operações aritméticas (exceto a divisão por zero) pode ser feito, e onde estes quatro operações de obedecer às leis usuais, é chamado de campo.

A adição (+)

A adição é a operação básica de aritmética. Na sua forma mais simples, adição combina dois números, osadendos ou termos , para um número único, a soma dos números.

A adição de mais do que dois números podem ser vistos como adição repetida; Este procedimento é conhecido como soma e inclui formas de adicionar um número infinito de números em uma série infinita; adição repetida o número de um , é a forma mais básica de contagem.

A adição é comutativa e associativa para que a ordem dos termos são adicionados em não importa. O elemento de identidade de adição (a identidade aditivo) é 0, isto é, a adição de 0 a qualquer número de rendimento que mesmo número. Além disso, o elemento de adição inversa (o inverso aditivo) é o inverso de qualquer número, isto é, adicionando o oposto de qualquer número de que o próprio número de identidade produz o aditivo, 0. Por exemplo, a oposta, de 7 é -7, assim 7 + (-7) = 0 .

A adição pode ser dada geometricamente como no exemplo a seguir:

Se tivermos duas varas de comprimentos de 2 e 5 , em seguida, se colocar as varas um após o outro, o comprimento da vara assim formado é 2 + 5 = 7 .

A subtracção (-)

A subtracção é o oposto de adição. Subtração encontra a diferença entre dois números, o minuend menos osubtrahend . Se o diminuendo é maior do que o subtraendo, a diferença for positiva; se o diminuendo é menor do que o subtraendo, a diferença é negativo; se forem iguais, a diferença é zero.

A subtração é nem comutativa nem associativa. Por essa razão, é muitas vezes útil para olhar para subtração como adição do diminuendo e o oposto do subtraendo, que é um - b = um + (- b ) . Quando escrito como uma soma, todas as propriedades de adição preensão.

Existem vários métodos para o cálculo dos resultados, alguns dos quais são particularmente vantajoso para o cálculo da máquina. Por exemplo, os computadores digitais empregam o método de complemento de dois. De grande importância é o método de contagem pela qual a mudança é feita. Suponha que uma quantidade P é dada a pagar o montante exigido Q , com P maior que Q . Ao invés de realizar a subtração P - Q e contando que a quantidade de mudança, o dinheiro é contado a partir de Q e continuando até chegar P . Embora a quantidade contado para fora deve ser igual ao resultado da subtração P - Q , a subtração nunca foi realmente feito e o valor de P - Q pode ainda ser desconhecido para a mudança-maker.

Multiplicação (× ou · ou *)

A multiplicação é a segunda operação básica de aritmética. Multiplicação também combina dois números em um único número, o produto . Os dois números originais são chamados de multiplicador e multiplicando , às vezes ambos os chamados simplesmente de fatores .

Multiplicação é melhor visualizado como uma operação de escala. Se os números são imaginados como estando em linha, a multiplicação por um número, por exemplo x , maior do que 1 é o mesmo que o alongamento tudo de 0 uniformemente, de tal maneira que o próprio número 1 é esticada para onde x foi. Da mesma forma, a multiplicação por um número menor do que 1 pode ser imaginado como espremendo direcção 0. (Mais uma vez, de tal maneira que 1 vai para o multiplicando).

A multiplicação é comutativa e associativa; mais é distributiva sobre adição e subtração. A identidade multiplicativo é 1, isto é, multiplicação por um número qualquer rendimento que mesmo número. Além disso, oinverso é o multiplicativo inverso de um número (com excepção do zero; zero é o único sem um número multiplicativo inverso), que é, multiplicando o inverso de qualquer número de que o próprio número de identidade produz o multiplicativo.

O produto de um e b está escrito como uma × b ou um • b . Quando um ou b são expressões não escritas simplesmente com dígitos, também é escrito por justaposição simples:  ab . Em linguagens de programação de computadores e pacotes de software no qual só se pode usar caracteres normalmente encontrados em um teclado, muitas vezes é escrito com um asterisco: a * b .

Division (÷ ou /)

A divisão é essencialmente o contrário da multiplicação. Divisão encontra o quociente de dois números, odividendo dividido pelo divisor . Qualquer dividendo dividido por zero é indefinido. Para os números positivos, se o dividendo é maior do que o divisor, o quociente é superior a um, de outro modo é inferior a um (a regra semelhante aplica-se para números negativos). O quociente multiplicado pelo divisor sempre produz o dividendo.

Divisão não é nem comutativa nem associativa. Como é útil olhar para subtração como disso, é útil olhar para a divisão como a multiplicação dos tempos de dividendos a reciprocidade do divisor, que é um ÷ b = a × 1 / b .Quando escrito como um produto, obedece todas as propriedades de multiplicação.

Aritmética Decimal

Representação decimal se refere exclusivamente, de uso comum, para a escrita sistema numeral empregandoalgarismos árabes como os dígitos de uma raiz 10 ("decimal") notação posicional; no entanto, qualquer sistema de numeração com base em potências de 10, por exemplo, grego, cirílico, Roman , ou chineses numerais pode conceitualmente ser descrito como "notação decimal" ou "representação decimal".

Os métodos modernos de quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) foram criados primeiramente por Brahmagupta da Índia. Este foi conhecido durante Europa medieval como "Modus Indoram" ou Método dos índios. Notação posicional (também conhecido como "notação lugar-valor") refere-se à representação ou codificação de números usando o mesmo símbolo para as diferentes ordens de grandeza (por exemplo, o "lugar queridos", "dezenas lugar", "centenas lugar") e, com um ponto da raiz, usando esses mesmos símbolos para representar fracções (por exemplo, o "décimos lugar", "centésimos lugar"). Por exemplo, 507,36 denota cinco centenas (10 2 ), além de dezenas (0 10 1 ), além de sete unidades (10 0 ), além de 3/10 (10 -1 ), além de 6/100 (10 -2 ).

Zero como um número comparável para os outros dígitos básicos é um conceito que é essencial para esta notação, como é o conceito de utilização de zero de como um marcador de posição, e como é a definição de multiplicação e adição com zero. O uso de zero como um espaço reservado e, portanto, o uso de uma notação posicional é primeiro atestada no texto Jain da Índia direito a Lokavibhâga , datado de 458 dC e foi só no início do século 13 que estes conceitos, transmitido através do bolsa de estudos do mundo árabe, foram introduzidos na Europa por Fibonacci usando o sistema de numeração indo-arábico.

Algorism compreende todas as regras para a realização de cálculos aritméticos utilizando este tipo de numeral escrito. Por exemplo, a adição produz a soma de dois números arbitrários. O resultado é calculado através da adição repetida de um dígito de cada número que ocupa a mesma posição, procedendo a partir da direita para a esquerda. Uma mesa de adição com dez linhas e dez colunas exibe todos os valores possíveis para cada soma.Se um valor individual excede o valor de nove, o resultado é representado com dois dígitos. O dígito mais à direita é o valor para a posição actual, e o resultado para a adição subsequente dos dígitos para os aumentos deixadas pelo valor do segundo (mais à esquerda) dígitos, que é sempre um. Esse ajuste é chamado de carrydo valor um.

O processo para a multiplicação de dois números arbitrários é semelhante ao processo de adição. Uma tabela de multiplicação com dez linhas e colunas de dez lista os resultados para cada par de dígitos. Se um produto individual de um par de dígitos exceder nove, o carry ajuste aumenta o resultado de qualquer subsequente multiplicação de dígitos à esquerda por um valor igual ao segundo (mais à esquerda) dígitos, que é qualquer valor de um a oito (9 × 9 = 81) . Etapas adicionais definir o resultado final.

Existem técnicas similares para subtração e divisão.

A criação de um processo para a multiplicação correcta baseia-se na relação entre os valores de dígitos adjacentes. O valor para qualquer um dígito em um numeral depende de sua posição. Além disso, cada posição à esquerda representa um valor de dez vezes maior do que a posição para a direita. Em termos matemáticos, oexpoente para a raiz (base) de dez aumenta por um (para a esquerda) ou diminui por um (para a direita).Portanto, o valor para qualquer dígito arbitrária é multiplicado por um valor de 10 a forma n com inteiro  n . A lista de valores correspondentes a todas as posições possíveis para um único dígito é escritocomo {..., 10 2 , 10, 1, 10 -1 , 10 -2 , ...}.

Multiplicação repetida de qualquer valor nessa lista por dez produz um outro valor na lista. Na terminologia matemática, essa característica é definida como encerramento, ea lista anterior é descrito como fechado sob multiplicação . É a base para encontrar correctamente os resultados de multiplicação utilizando a técnica anterior. Este resultado é um exemplo dos usos da teoria dos números .

Composto unidade aritmética

Aritmética unidade Composto é a aplicação de operações aritméticas para quantidades Radix mista, como pés e polegadas, galões e pintas, libras xelins e pence, e assim por diante. Antes da utilização de sistemas de decimais à base de dinheiro e de unidades de medida, o uso de aritmética unidade composto formado uma parte significativa do comércio e da indústria.

Operações aritméticas básicas

As técnicas utilizadas para a aritmética unidade composto foi desenvolvido ao longo de muitos séculos e estão bem documentadas em muitos livros didáticos em muitas línguas diferentes. Para além das funções básicas aritméticas encontradas em aritmética decimal, unidade aritmética composto emprega mais três funções:

  • Redução em que uma quantidade de composto é reduzido para uma quantidade única, por exemplo a conversão de uma distância expressa em metros, pés e polegadas a uma expressa em polegadas.
  • Expansão , a função inversa de redução, é a conversão de uma quantidade que é expressa como uma única unidade de medida para uma unidade de composto, tal como a expansão para 24 oz £ 1, 8 oz .
  • A normalização é a conversão de um conjunto de unidades compostas de um formulário padrão - por exemplo reescrevendo " um pé 13 em "como" dois pés em 1 ".

O conhecimento sobre a relação entre as várias unidades de medida, seus múltiplos e submúltiplos seus constitui uma parte essencial da aritmética unidade composto.

Princípios da aritmética unidade composto

Existem duas abordagens básicas para composta aritmética unidade:

  • Método de redução de expansão , onde todas as variáveis ​​unitários composto são reduzidos a variáveis ​​unitárias, o cálculo realizado eo resultado estendido de volta para unidades compostas. Esta abordagem adequada para cálculos automatizados. Um exemplo típico é a manipulação de tempo por Microsoft Excel onde todos os intervalos de tempo são tratados internamente como dias decimais e fracções de um dia.
  • Em curso método de normalização , em que cada unidade é tratado separadamente e continuamente o problema é normalizada como a solução desenvolve. Esta abordagem, que é amplamente descrito nos textos clássicos, é o mais adequado para os cálculos manuais. Um exemplo do método de normalização em curso, tal como aplicado a adição é mostrada abaixo.
UK pré-decimal moeda
4 farthings (f) = 1 centavo
12 moedas de um centavo (d) = 1 shilling
20 shillings (s) = £ 1 (R $)
MixedUnitAddition.svg

A operação de adição é levada a cabo da direita para a esquerda;neste caso, pence são processados ​​em primeiro lugar, em seguida, seguidos por trocos libras. Os números abaixo da "linha de resposta" são resultados intermediários.

O total da coluna pence é 25. Desde há 12 centavos em um shilling, o número 24 é dividido por 12 para se obter a 2 com resto 1. O valor "1" é então escrito para a linha de resposta e o valor " 2 "transitar para a coluna shillings. Esta operação é repetida usando os valores na coluna de trocos, com o passo adicional de adição ao valor que foi levada para a frente a partir da coluna de moedas. O total intermediário é dividido por 20 em vez de 12, como há 20 xelins em uma libra. A coluna libra é então processado, mas como libras são a maior unidade que está sendo considerado, não há valores são transportados a partir da coluna de libras.

Deve notar-se que, por razões de simplicidade, o exemplo escolhido não têm asses.

 

As operações na prática

A escala calibrada em unidades imperiais com um display custo associado.

Durante os séculos 19 e 20 várias ajudas foram desenvolvidos para auxiliar a manipulação de unidades compostas, principalmente em aplicações comerciais. Os auxiliares mais comuns foram lavra mecânicas que foram adaptadas em países como o Reino Unido para acomodar libras, xelins, moedas de um centavo e farthings e "Pronto instrumentos de cálculo" - livros destinados a comerciantes que catalogados os resultados de vários cálculos de rotina, como as percentagens ou múltiplos de várias somas de dinheiro.Um livreto típico que correu para 150 páginas tabuladas múltiplos "1-10000 nos vários preços de um centavo de £ 1".

A complexidade da aritmética unidade composto tem sido reconhecida por muitos anos - em 1586, o matemático flamengo Simon Stevin publicou um pequeno panfleto chamado De Thiende ("o décimo"), no qual ele declarou que a introdução universal da cunhagem decimal, medidas e pesos para ser apenas uma questão de tempo, enquanto na era moderna, muitos programas de conversão, como a que está embutido na calculadora fornecido como um componente normal das unidades compostas exibição do sistema operacional Microsoft Windows 7 em um formato decimal reduzida ao invés de usar um expandida formato (ou seja, "2,5 pés" é exibido em vez de "2 pés 6 in" ).

A teoria dos números

O termo aritmética também se refere à teoria dos números. Isso inclui as propriedades dos inteiros relacionados com primality , divisibilidade e da solução de equações em números inteiros, bem como a pesquisa moderna que é uma conseqüência deste trabalho. É neste contexto que se atravessa o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas. Um Curso em Aritmética por Jean-Pierre Serre reflete esse uso, como fazer tais frases como aritmética de primeira ordem ou geometria algébrica aritmética . A teoria dos números é também referida como a média aritmética maior , como no título do livro de Harold Davenport sobre o assunto.

Aritmética na educação

A educação primária em matemática, muitas vezes coloca um forte foco em algoritmos para a aritmética dosnúmeros naturais , inteiros , frações e decimais (que utilizam o sistema de valor casa decimal). Este estudo é conhecido como algorism.

A dificuldade e aparência desmotivado destes algoritmos têm liderado os educadores a questionar este currículo, defendendo o ensino precoce das idéias mais centrais e intuitivas matemáticas. Um movimento notável neste sentido foi a New Math dos anos 1960 e 1970, que tentou ensinar aritmética no espírito do desenvolvimento axiomático da teoria dos conjuntos, um eco da tendência predominante em matemática superior.

 

fonte:http://schools-wikipedia.org/wp/a/Arithmetic.htm

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