GEOMETRIA ANALITICA

 


Coordenadas cartesianas.

Geometria analítica , também chamado de geometria de coordenadas e anteriormente conhecido comogeometria cartesiana ou geometria analítica , é o estudo da geometria usando os princípios de álgebra .

Que a álgebra dos números reais podem ser empregados para produzir resultados sobre o continuum linear de geometria conta com o axioma Cantor-Dedekind. Normalmente, o sistema de coordenadas cartesianas, é aplicado para manipularequações para aviões , linhas, linhas retas, e praças , muitas vezes em dois e, por vezes, em três dimensões de medição. 

Como ensinado nos livros escolares, geometria analítica pode ser explicada de forma mais simples: ele está preocupado com a definição de formas geométricas de forma numérica e extrair informação numérica de que a representação. A saída numérica, no entanto, também pode ser um vector ou uma forma. Alguns consideram que a introdução da geometria analítica foi o início de modernos matemática .

 

História

O matemático grego Menaechmus resolveu problemas e provou teoremas usando um método que tinha uma forte semelhança com o uso de coordenadas e tem sido, por vezes, sustentando que não havia geometria analítica. Apolônio de Perga, em On Determinate Seção tratados problemas de uma forma que pode ser chamado de uma geometria analítica de uma dimensão; com a questão de encontrar pontos em uma linha que estavam em uma relação com os outros. 

Apolônio nos Cônicas desenvolvido um método que é tão semelhante à geometria analítica que seu trabalho às vezes é pensado para ter antecipado o trabalho de Descartes por cerca de 1800 anos. A sua aplicação de linhas de referência, um diâmetro e uma tangente é essencialmente diferente do que a nossa utilização moderna de um quadro de coordenadas, em que as distâncias ao longo do diâmetro medido a partir do ponto de tangência são as abcissas, e os segmentos paralelos à tangente e recebido entre o eixo e a curva são ordenadas. 

 

Ele desenvolveu ainda mais as relações entre as abscissas e ordenadas correspondentes que são equivalentes às equações retóricas de curvas. No entanto, embora Apolônio chegou perto de desenvolvimento de geometria analítica, ele não chegou a fazê-lo uma vez que ele não levou em conta as magnitudes negativas e em todos os casos o sistema de coordenadas foi sobreposta a uma determinada curva a posteriori , em vez de a priori . Isto é, as equações foram determinados por curvas, mas não curvas foram determinadas pelas equações. Coordenadas, variáveis ​​e equações eram noções subsidiárias aplicadas a uma situação geométrica específica.

 

século XI persa matemático Omar Khayyam viu uma forte relação entre geometria e álgebra, e estava se movendo na direção certa, quando ele ajudou a fechar a lacuna entre álgebra numérica e geométrica com a solução geométrica das gerais equações cúbicas, mas o passo decisivo veio mais tarde, com Descartes.

 

Geometria analítica tem sido tradicionalmente atribuída a René Descartes, que fez progressos significativos com os métodos da geometria analítica, quando em 1637, no apêndice intitulado Geometria da intitulado Discurso sobre o método para bem conduzir a razão na busca da verdade nas ciências , vulgarmente designado comoDiscurso do Método . Esta obra, escrita em sua terra natal, francês língua, e seus princípios filosóficos, desde a base para o cálculo da Europa.

 

Abraham de Moivre também foi pioneira no desenvolvimento da geometria analítica. Com a assunção doaxioma Cantor-Dedekind, geometria, essencialmente, que euclidiana é interpretável na linguagem da geometria analítica (ou seja, cada teorema de um é um teorema da outra), a prova da de Alfred Tarski decidibilidade do campo real, ordenou poderia ser visto como uma prova de que a geometria euclidiana é consistente edecidable.

Temas

Temas importantes de geometria analítica são

Muitos destes problemas envolvem álgebra linear .

Exemplo

Aqui um exemplo de um problema do United States of America Mathematical Talent Search, que pode ser resolvido através de geometria analítica:

 

Problema: Em um pentágono convexo ABCDE, os lados têm comprimentos 1234, e 5, embora não necessariamente por esta ordem. Vamos FGH, e EUsão os pontos médios dos lados ABBCCD, e DE, respectivamente. Vamos Xser o ponto médio do segmento FH, e Eser o ponto médio do segmento GI. O comprimento do segmento XYé um número inteiro. Encontre todos os valores possíveis para o comprimento do lado AE.

 

Solução: Vamos ABCD, e Eestar localizado a A (0,0)B (a, 0)C (b, e)D (c, f), e E (d, g).

Usando a fórmula do ponto médio, os pontos FGHEUX, e Eestão localizados no

F \ left (\ frac {a} {2}, 0 \ right)G \ left (\ frac {a + b} {2}, \ frac {e} {2} \ right)H \ left (\ frac {b + c} {2}, \ frac {e + f} {2} \ right)I \ left (\ frac {c + d} {2}, \ frac {f + g} {2} \ right)X \ left (\ frac {a + b + c} {4}, \ frac {e + f} {4} \ right), eY \ left (\ frac {a + b + c + d} {4}, \ frac {e + f + g} {4} \ right).

Usando a distância fórmula,

AE = \ sqrt {d ^ 2 + g ^ 2}

e

XY = \ sqrt {\ frac {d ^ 2} {16} + \ frac {g ^ 2} {16}} = \ frac {\ sqrt {d ^ 2 + g ^ 2}} {4}.

Desde XYtem que ser um número inteiro ,

AE \ equiv 0 \ pmod {4}

(Ver aritmética modular ) de forma AE = 4.

Outros usos

Geometria analítica , para geômetras algébricos, é também o nome para a teoria da (reais ou) variedades complexas e as mais gerais espaços analíticos definidos localmente pelo desaparecimento de funções analíticas de várias variáveis ​​complexas (ou, por vezes, os reais). Ela está intimamente ligada à geometria algébrica, especialmente através da obra de Jean-Pierre Serre em GAGA .

 

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