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SOBRE TEORIA DOS NÚMEROS

 

Teoria dos Números Web - coisas de interesse para os teóricos dos números coletados por Keith Matthews.

Teoria Elementar Número Ativo - Interativo (Javascript) expressão de um número como uma soma de dois quadrados.

O Propriedades Aritmética de Binomial Coeficientes - Activado texto por Andrew Granville.

Covers, Sumsets e Zero-somas - uma abordagem unificada para sistemas de cobertura, sumsets restritas e problemas de soma zero por Zhi-Wei Sun.

Pequeno Teorema de Fermat - Com notas em números Carmichael e da vida de RD Carmichael.

Frequently Asked Questions - seção Teoria dos Números da lista sci.math FAQ.

Hakmem frações contínuas - algumas notas da coleção MIT. Inclui os algoritmos do Gosper para aritmética CF.

Relações inteiros - Para determinar a dependência linear inteira entre constantes numéricas e determinar o polinômio mínimo de um número algébrico aproximada. Interativo ou via e-mail.

Introdução aos números de Bernoulli - Um artigo web com um breve histórico e conta a sua relação com a função zeta de Riemann e Último Teorema de Fermat (HTML / PS).

Uma Introdução à Teoria dos Números por Leo Moser - cobertura Textbook seguintes tópicos: composições e divisórias; funções aritméticas;distribuição dos números primos; números irracionais; congruências; equações diofantinas; teoria dos números combinatória; e geometria dos números.

Klein Polyhedra - Exemplos e algoritmos para computação Klein poliedros, também conhecido como velas Arnold ou véus (voiles), por Keith Briggs.

Conjectura de Lehmer - que a medida de Mahler um número algébrico é limitada a partir 1. Páginas por Michael Mossinghoff, UCLA.

LMFDB - Um manual incluindo tabelas, fórmulas, links e referências para a L-funções e os objetos subjacentes.

MathPages: Teoria dos Números - Artigos por Kevin Brown sobre vários temas na teoria dos números.

MathWorld Teoria dos Números - Índice de artigos em MathWorld de Eric Weisstein na área da teoria dos números.

Uma Prova Mecânica de Reciprocidade Quadrática - Um artigo de David M. Russinoff descrevendo o uso da teoremas Boyer-Moore na geração mecanicamente uma prova da Lei de Reciprocidade Quadrática. PS / PDF.

Geometria não-comutativa, Ritmo Fórmulas e os Zeroes da função Riemann Zeta - Palestra notas por Alain Connes.

Teoria dos Números - Guia de Dave Rusin à teoria dos números.

Teoria dos Números - As provas juntamente com solucionadores equação e visualizações gráficas escritas em Java.

Teoria dos Números Glossário - Compilado por Robert Campbell.

A Enciclopédia On-Line de Integer Sequences (OEIS) - Dada uma seqüência de inteiros, encontrar o seu nome, e fórmula.

Alguns destaques da Aritmética Combinatória - notas de aula e recursos na teoria dos números combinatória por Terence Tao.

Algumas Constantes Número-Teórica - Produtos de funções racionais de p mais de primos, computados por Gerhard Niklasch e Pieter Moree.

Somos Polynomials - relacionadas às sequências somos e funções teta elípticas.

A Somos sequência do local - recursos da Web para obter informações sobre as sequências de somos e assuntos relacionados, tais como sequências de divisibilidade elípticas.

Gaps Square-livres - Algoritmo e código fonte para o cálculo do número de livre-quadrados e lacunas.

Números transcendentes - planilhas de bordo, notas de aula e links para outros recursos por John Cosgrove.

A Teoria de Avaliação Home Page - Um fórum para todos os matemáticos que trabalham em teoria, avaliação ou aplicar os resultados teóricos de avaliação em seu próprio campo de pesquisa.

Vinhetas sobre automórfica e modulares formas, Representações, L-funções e Teoria dos Números - Por Paul Garrett.

Estruturas visíveis em Teoria dos Números - Por Peter Borwein e Loki Jorgenson. Reconhecendo padrões numéricos visualmente.

A obra de Robert Langlands - Teses, documentos, manuscritos, cartas e bibliografia.

World Records para Numéricos Palindromes - A 196 Palíndromo Quest e The Number Palindromic mais atrasada, por Jason Doucette.

 TEORIA DOS NÚMEROS

DEFINIÇÃO

 

A teoria dos números é o ramo da matemática pura em causa com as propriedades dos números em geral, e inteiros , em particular, bem como as classes mais amplas de problemas que surgem a partir de seu estudo.

A teoria dos números pode ser subdividida em várias áreas, de acordo com os métodos utilizados e do tipo de questões investigadas. ( Veja a lista de tópicos da teoria dos números .)

O termo " aritmética "é também usado para se referir a teoria número. Este é um termo um pouco mais velhos, que já não é tão popular como era antes. A teoria dos números costumava ser chamado a aritmética superior , mas isso também está caindo em desuso. No entanto, ele ainda mostra-se nos nomes de campos matemáticos ( funções aritméticas, aritmética de curvas elípticas, teorema fundamental da aritmética ). Este sentido do termo aritmética não deve ser confundida nem com aritmética elementar , ou com o ramo da lógicaque estuda aritmética Peano como um sistema formal. Os matemáticos que trabalham no campo da teoria dos números são chamados os teóricos dos números .

Ao organizar os números naturaisem uma espiral e enfatizando os números primos, um padrão totalmente explicado intrigante e não for observado, chamado de espiral Ulam.

Campos

Teoria dos números Elementar

Na teoria dos números elementar , os números inteiros são estudadas, sem uso de técnicas de outros campos matemáticos. Questões dedivisibilidade , o uso do algoritmo de Euclides para calcular maiores divisores comuns , factorizations inteiros em números primos , investigação de números perfeitos e congruências pertenço aqui. Várias descobertas importantes deste campo são pequeno teorema de Fermat,teorema de Euler, o restante teorema chinês ea lei da reciprocidade quadrática. As propriedades das funções multiplicativos, como a função de Möbius e função φ de Euler, sequências de números inteiros,fatoriais e os números de Fibonacci tudo também se enquadram nesta área.

Diversas questões na teoria dos números pode ser indicado no número termos teóricos elementares, mas eles podem exigir muito profunda consideração e novas abordagens fora do domínio da teoria dos números elementar para resolver. Os exemplos incluem:

  • conjectura de Goldbach , relativo à expressão de números pares como somas de dois primos.
  • A conjectura de Catalão (agora o teorema de Mihăilescu) sobre sucessivas potências inteiras.
  • A conjectura dos primos gêmeos sobre a infinitude de pares de primos.
  • A conjectura de Collatz relativa a uma iteração simples.
  • Último teorema de Fermat (declarado em 1637, mas não se mostrou até 1994) a respeito da impossibilidade de encontrar inteiros diferentes de zero x, y, z tal que x ^ n + y n = z ^ ^ npara algum inteiro n maior que 2 .

A teoria das equações diofantinas foi mostrado mesmo para ser undecidable (ver décimo problema de Hilbert).

Teoria dos números Analytic

Teoria dos números Analytic emprega a máquina do cálculo e análise complexa para resolver questões sobre números inteiros. O número primo teorema (PNT) ea relacionada hipótese de Riemann são exemplos. O problema de Waring (representando um determinado número inteiro como uma soma de quadrados, cubos, etc.), a conjectura dos primos gêmeos (encontrar infinitamente muitos pares de primeira linha com diferença 2) econjectura de Goldbach (escrevendo inteiros pares como somas de dois números primos) estão sendo atacados com métodos analíticos também. As provas da transcendência de constantes matemáticas, como π ou e , também são classificados como teoria dos números analítica. Enquanto declarações sobre números transcendentes pode parecer a ser removido a partir do estudo de números inteiros, eles realmente estudar os possíveis valores de polinômios com coeficientes inteiros avaliados em, digamos, e ; eles também estão intimamente ligados ao campo da Diophantine aproximação, quando se investiga "como bom" um dado número real pode ser aproximada por uma racional um.

Teoria dos números algébricos

Na teoria dos números algébricos , o conceito de um número é ampliado para os números algébricos que sãoraízes de polinômios com racionais coeficientes. Estes domínios contêm elementos análogos aos números inteiros, os chamados inteiros algébricos. Neste cenário, as características familiares dos inteiros (por exemplo, fatoração única) não necessitam de dispor. A virtude da maquinaria employed- teoria de Galois , grupo cohomology, teoria do campo de classe, as representações do grupo e L-funções é que ele permite recuperar esse fim em parte por esta nova classe de números.

Muitos Número questões teóricas são mais atacados por estudá-los modulo p para todos números primos p (vercampos finitos). Isto é chamado de localização e que conduz à construção dos números p-adic; este campo de estudo é chamado de análise local e surge a partir da teoria dos números algébricos.

Teoria dos números Geometric

Teoria dos números geométricos (tradicionalmente chamado de geometria dos números) incorpora alguns conceitos geométricos básicos, tais como treliças, em questões de teoria dos números. Ela começa com o teorema de Minkowski sobre pontos de rede em conjuntos convexos, e leva a provas fundamentais da finitude do número de classe e unidade teorema de Dirichlet, dois teoremas fundamentais na teoria dos números algébricos.

Teoria dos números Combinatória

Combinatória teoria dos números lida com número problemas teóricos que envolvem combinatórias idéias em suas formulações ou soluções. Paul Erdős é o principal fundador deste ramo da teoria dos números. Temas típicos incluem sistema de cobertura, problemas de soma zero, vários sumsets restritos, e progressões aritméticas em um conjunto de números inteiros. Métodos algébricos ou analíticas são poderosos neste campo.

Teoria dos números Computacional

Teoria dos números Computacional estuda algoritmos relevantes na teoria dos números. Algoritmos rápidos para testes prime e inteiro fatoração ter importantes aplicações em criptografia .

História

Teoria dos números védica

Matemáticos na Índia estavam interessados ​​em encontrar soluções integrais de equações diofantinas desde aera védica. O primeiro uso geométrica de equações diofantinas pode ser rastreada até os Sutras Sulba, que foram escritos entre os séculos 8 e 6 aC. Baudhayana (c. 800 aC) encontraram dois conjuntos de soluções integrais positivas para um conjunto de equações diofantinas simultâneas, e também usou equações diofantinas simultâneas com até quatro incógnitas. Apastamba (c. 600 aC) usou equações diofantinas simultâneas com até cinco incógnitas.

Teoria dos números Jaina

Na Índia, os matemáticos Jaina desenvolveu a mais antiga teoria sistemática dos números do quarto século aC ao século 2 dC. O texto Jaina Surya Prajinapti (. c 400 aC) classifica todos os números em três conjuntos: enumeráveis, inúmeras e infinitas. Cada um deles foi subdividido em três ordens:

  • Enumerable: mais baixo, intermediário e alto.
  • Inumeráveis: quase inumeráveis, verdadeiramente inumeráveis ​​e innumerably inumeráveis.
  • Infinito: quase infinita, verdadeiramente infinito, infinitamente infinito.

Os jainistas foram os primeiros a descartar a idéia de que todos os infinitos eram os mesmos ou igual. Eles reconheceram cinco tipos diferentes de infinito: infinito em uma e duas direções (uma dimensão), infinitas na área (duas dimensões), infinito em todos os lugares (três dimensões), e infinitos perpetuamente (número infinito de dimensões).

O maior número enumeráveis ​​N dos jainistas corresponde ao conceito moderno de aleph-nulo \ Aleph_0(o número cardinal do conjunto infinito de números inteiros 1, 2, ...), o menor cardinal número transfinito. O jainistas também definiu todo um sistema de números cardinais transfinitos, da qual \ Aleph_0é o menor.

Na obra Jaina na teoria dos conjuntos , dois tipos básicos de números transfinitos são distinguidas. Em ambos os físicos e fundamentos ontológicos, foi feita uma distinção entre asmkhyata e ananata , entre rigidamente delimitada e infinidades vagamente delimitada.

Teoria dos números grego

A teoria dos números foi um estudo favorito entre os matemáticos gregos do período helenístico tarde (3 século dC) em Alexandria , Egito , que estavam cientes da equação conceito Diophantine em numerosos casos especiais. O primeiro matemático grego para estudar essas equações foi Diofanto.

Diofanto também procurou um método de encontrar soluções inteiras para linear equações indeterminadas, equações que não possuem informações suficientes para produzir um único conjunto discreto de respostas. A equação x + y = 5é tal equação. Diofanto descobriu que muitas equações indeterminadas pode ser reduzido a um formulário onde uma determinada categoria de respostas é conhecido, apesar de uma resposta específica não é.

Teoria dos números clássica indiana

Equações diofantinas foram amplamente estudado por matemáticos da Índia medieval, que foram os primeiros a investigar sistematicamente os métodos de determinação de soluções integrais de equações diofantinas.Aryabhata (499) deu a primeira descrição explícita da solução integral geral da equação linear Diophantine uma e + x =c, que ocorre no seu texto Aryabhatiya . Este kuttaka algoritmo é considerado uma das contribuições mais significativas de Aryabhata em matemática pura, que encontraram soluções para Diofantina equações por meio de frações contínuas. A técnica foi aplicada por Aryabhata para dar soluções integrais de equações diofantinas lineares simulataneous, um problema com importantes aplicações em astronomia. Ele também encontrou a solução geral para a indeterminado equação linear utilizando este método.

Brahmagupta em 628 manipulados equações diofantinas mais difíceis. Ele usou o chakravala método para resolver quadrática equações diofantinas, incluindo formas de equação de Pell, tais como . Sua Brahma Sphuta Siddhanta foi traduzido para o árabe em 773 e foi posteriormente traduzido para o latim em 1126. A equaçãomais tarde foi colocada como um problema em 1657 pelo francês matemático Pierre de Fermat . A solução foi encontrada em geral para esta forma particular da equação de Pell mais de 70 anos mais tarde, por Leonhard Euler , enquanto que foi encontrada a solução geral para a equação de Pell mais de 100 anos mais tarde porJoseph Louis Lagrange em 1767. Enquanto isso, há muitos séculos atrás, a solução geral para A equação de Pell foi gravada por Bhaskara II em 1150, utilizando uma versão modificada do de Brahmagupta chakravalamétodo, que ele também utilizado para encontrar a solução geral para outras equações do segundo grau indeterminados e equações diofantinas quadrática. De Bhaskara chakravala método para encontrar a solução geral para a equação de Pell era muito mais simples do que o método usado por Lagrange mais de 600 anos mais tarde. Bhaskara também encontrou soluções para outros quadrática, indeterminados cúbico, quartic, e de ordem superior polinomiais equações. Narayana Pandit melhorada no chakravala método e encontraram soluções mais gerais a outros quadrático e de ordem superior equações polinomiais indeterminados. 61x ^ 2 + 1 = y ^ 2 61x ^ 2 + 1 = y ^ 2

Teoria dos números islâmico

A partir do século 9, matemática islâmicos tinha um grande interesse na teoria dos números. O primeiro destes era matemáticos Thabit ibn Qurra, descobriu que um algoritmo que permitiu pares de números amigáveis ​​para ser encontrada, ou seja, dois números, tais que cada um deles é a soma dos divisores apropriados da outra. No século 10, Al-Baghdadi olhou para uma ligeira variante do método de Thabit ibn Qurra.

No século 10, al-Haitham parece ter sido o primeiro a tentar classificar todos os mesmo números perfeitos(números iguais à soma de seus divisores próprios) como os da forma 2 ^ {k-1} (2 ^ k - 1)em que 2 ^ k - 1é primo. Al-Haytham também é a primeira pessoa a indicar o teorema de Wilson, ou seja, que se p é primo, então 1+ (p-1)!é divisível por p. Não está claro se ele sabia como provar este resultado. Ele é chamado de teorema de Wilson por causa de um comentário feito por Edward Waring em 1770 que John Wilson tinha notado o resultado. Não há nenhuma evidência de que John Wilson sabia como provar isso e certamente Waring não o fez. Lagrange deu a primeira prova em 1771.

Números amigáveis ​​desempenhou um grande papel na matemática islâmicos. No século 13, o matemático persa Al-Farisi deu uma nova prova do teorema de Thabit ibn Qurra, introduzindo novas ideias importantes relativas factorisation e métodos combinatórios. Ele também deu o par de números amigáveis ​​17296, 18416, que têm sido atribuídas a Euler, mas sabemos que estes foram conhecidos mais cedo do que al-Farisi, talvez até por Thabit ibn-se Qurra. No século 17, Muhammad Baqir Yazdi deu o par de números amigáveis ​​9.363.584 e 9.437.056 ainda muitos anos antes de contribuição de Euler.

Teoria dos números Europeia precoce

A teoria dos números começou em Europa nos séculos 16 e 17, com François Viète, Bachet de Meziriac e, especialmente, Fermat , cujo método de descida infinita foi a primeira prova geral de perguntas diofantinas.último teorema de Fermat foi colocada como um problema em 1637, uma prova de que não foi encontrado até 1994. Fermat também posou a equação 61x ^ 2 + 1 = y ^ 2como um problema em 1657.

No século XVIII, Euler e Lagrange fez importantes contribuições à teoria dos números. Euler fez alguns trabalhos na teoria analítica dos números, e encontrou uma solução geral para a equação 61x ^ 2 + 1 = y ^ 2. Lagrange encontrou uma solução para a equação mais geral de Pell. Euler e Lagrange resolvido estas equações Pell, por meio de frações contínuas, embora este foi mais difícil do que o indiano chakravala método.

Começo da teoria dos números moderno

Por volta do início dos livros do século XIX de Legendre (1798), e Gauss juntar as primeiras teorias sistemáticas na Europa. De Gauss Disquisitiones Arithmeticae (1801) pode ser dito para começar a moderna teoria dos números.

A formulação da teoria das congruências começa com de Gauss Disquisitiones . Ele introduziu o simbolismo

a \ equiv b \ c pmod,

e explorou a maior parte do campo. Chebyshev publicou em 1847 um trabalho em russo sobre o assunto, e na França Serret popularizou.

Além de resumir o trabalho anterior, Legendre, afirmou o lei da reciprocidade quadrática. Essa lei, descoberto por indução e enunciada por Euler, foi provado pela primeira vez por Legendre em seu Théorie des Nombres(1798) para casos especiais. Independentemente de Euler e Legendre, Gauss descobriu a lei sobre 1795, e foi o primeiro a dar uma prova geral. A seguir, também contribuíram para o assunto: Cauchy; Dirichlet cujaVorlesungen über Zahlentheorie é um clássico; Jacobi, que introduziu o símbolo Jacobi; Liouville, Zeller, (?)Eisenstein, Kummer e Kronecker. A teoria se estende para incluir cúbico e reciprocidade quartic, (Gauss, Jacobi que primeiro provaram a lei da reciprocidade cúbico, e Kummer).

Para Gauss é também devido a representação de números binários por formas quadráticas.

Teoria dos números primos

Um tema recorrente e produtiva na teoria dos números é o estudo da distribuição dos números primos. Carl Friedrich Gauss conjecturou o limite do número de primos que não ultrapassem um determinado número (oteorema de número primo) como um adolescente.

Chebyshov (1850) deu limites úteis para o número de números primos entre dois limites indicados. Riemann introduziu análise complexa sobre a teoria da função zeta de Riemann. Isso levou a uma relação entre os zeros da função zeta e a distribuição dos números primos, acabou levando a uma prova de teorema de número primo de forma independente por Hadamard e de la Vallée Poussin em 1896. No entanto, uma prova elementar foi dado mais tarde por Paul Erdős e Atle Selberg em 1949. Aqui meios elementares que não utilizam técnicas de análise complexa; No entanto, a prova ainda é muito engenhoso e difícil. A hipótese de Riemann, o que daria informações muito mais precisas, ainda é uma questão em aberto.

Desenvolvimentos do século XIX

Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (1859, 1868), e, nomeadamente, Hermite ter acrescentado ao assunto. Na teoria das formas ternários, Eisenstein foi um líder, e para ele e HJS Smith também é devido um avanço notável na teoria das formas em geral. Smith deu uma classificação completa das formas quadráticas ternários, e estendeu as pesquisas de Gauss relativas reais formas quadráticas para formas complexas. As investigações sobre a representação de números pela soma de 4, 5, 6, 7, 8 quadrados foram avançados por Eisenstein e a teoria foi completado por Smith.

Dirichlet foi o primeiro a fazer conferências sobre o assunto em uma universidade alemã. Entre suas contribuições é a extensão do último teorema de Fermat :

x ^ n + y ^ n \ neq Z ^ n, (x, y, z \ neq 0, n> 2)

que Euler e Legendre tinha provado para n = 3, 4(e, portanto, por implicação, todos os múltiplos de 3 e 4), mostrando que Dirichlet X + y ^ 5 ^ 5 \ neq Z ^ 5. Entre as posteriores escritores franceses são Borel; Poincaré, cujas memórias são numerosos e valiosos; Tannery, e Stieltjes. Entre os principais contribuintes na Alemanha foramKronecker, Kummer, Schering, Bachmann e Dedekind. Na Áustria de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), e na Inglaterra, Teoria dos Números (Parte I, 1892) Mathews 'eram obras gerais acadêmicos. Genocchi, Sylvester, e JWL Glaisher também contribuíram para a teoria.

Desenvolvimentos do século XX XIX e início do

Era a época de grandes avanços na teoria dos números, devido à obra de Axel Thue em equações diofantinas, de David Hilbert em teoria dos números algébricos (ele também provou o número conjectura primeiro-Waring), e para a criação de teoria dos números geométrica por Hermann Minkowski , mas também graças a Adolf Hurwitz,Georgy F. Voronoy, Waclaw Sierpinski, Derrick Norman Lehmer e vários outros.

Desenvolvimentos do século XX

As principais figuras na teoria dos números do século XX incluem Hermann Weyl, Nikolai Chebotaryov, Emil Artin, Erich Hecke, Helmut Hasse, Alexander Gelfond, Yuri Linnik, Paul Erdös, Gerd Faltings, GH Hardy,Edmund Landau, Louis Mordell, John Edensor Littlewood, Srinivasa Ramanujan, André Weil, Ivan Vinogradov,Atle Selberg, Carl Ludwig Siegel, Igor Shafarevich, John Tate, Robert Langlands, Goro Shimura, Kenkichi Iwasawa, Jean-Pierre Serre, Pierre Deligne, Enrico Bombieri, Alan Baker, Peter Swinnerton-Dyer, Bryan Birch,Vladimir Drinfeld, Laurent Lafforgue, Andrew Wiles, e Richard Taylor.

Marcos na teoria dos números do século XX incluem a prova do Último Teorema de Fermat por Andrew Wiles em 1994 e a prova do relacionada conjectura Taniyama-Shimura, em 1999.

 

fonte: http://schools-wikipedia.org/wp/n/Number_theory.htm

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