Em matemática , o valor absoluto (ou módulo que é Latin para uma pequena medida ) de um número real é o seu valor numérico, sem considerar o sinal . Assim, por exemplo, 3 é o valor absoluto de ambos 3 e -3. Na programação de computadores, a função matemática utilizada para realizar este cálculo é geralmente dado o nomeabs () .

Generalizações do valor absoluto de números reais ocorrer em uma ampla variedade de configurações matemáticas. Por exemplo, um valor absoluto também é definida para os números complexos , os quaternions, anéis ordenados, campos e espaços vetoriais . O valor absoluto está intimamente relacionada com as noções demagnitude, distância , e norma em vários contextos matemáticos e físicos.

O gráfico da função valor absoluto para números reais.

Números reais

Para qualquer número real de 0, o valor absoluto ou módulo de 0  é representada por |  um  | e é definido como

| A | = \ begin {cases} a, & \ mbox {if} a \ ge 0 \\ -a, & \ mbox {if} a <0. \ end {cases}

Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de um seja sempre positivo ou nulo , mas nunca negativa .

Do ponto de vista geométrico, o valor absoluto de um número real é a distância ao longo da linha de número real de que o número de zero, e mais geralmente o valor absoluto da diferença de dois números reais é a distância entre eles.Na verdade, a noção de um resumo função distância em matemática pode ser visto como uma generalização do valor absoluto da diferença (ver "Distance" abaixo).

A proposição seguinte, dá uma identidade, que às vezes é usado como uma alternativa (e equivalentes) a definição do valor absoluto:

Proposição 1 :

| A | = \ sqrt {a ^ 2}

O valor absoluto tem as quatro propriedades fundamentais seguintes:

Proposição 2 :

| A | \ dar 0 Non-negatividade
| A | = 0 \ sse a = 0 Positivo-definiteness
| Ab | = | a || b | \, Multiplicativeness
| A + b | \ le | a | + | b |  Sub aditividade

Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

Proposição 3 :

| -a | = | A | \, Simetria
| A - b | = 0 \ sse a = b Identidade dos indiscerníveis (equivalente a positive-definiteness)
| A - b | \ le | a - c | + | c - b |  Desigualdade Triangle (equivalente a sub aditividade)
| A / b | = | a | / | b | \ mbox {(if} b \ ne 0) \, Preservação da divisão (equivalente a multiplicativeness)
| Ab | \ ge || a | - | b || (Equivalente a sub aditividade)

Duas outras desigualdades úteis são:

| A | \ b \ sse -b \ le a \ b
| A | \ ge b \ sse a \ le -b \ mbox {} ou b \ le um

O acima são muitas vezes utilizados na resolução das desigualdades; por exemplo:

| X-3 | \ 9 \ Iff -9 \ x-3 \ 9
  \ Iff -6 \ le x \ 12

Os números complexos

O valor absoluto de um número complexo z é a distância r de z para a origem. Veja-se também no quadro que z e z têm o mesmo valor absoluto.

Uma vez que os números complexos não são solicitados, a definição dada acima para o valor absoluto verdadeiro não pode ser directamente generalizada para um número complexo. No entanto, a identidade dada na proposição 1:

| A | = \ sqrt {a ^ 2}

pode ser visto como motivar a seguinte definição.

Para qualquer número complexo

z = x + iy, \,

onde x e y são números reais, o valor absoluto ou módulo de z é denotado |  z  | e é definido como

| Z | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}.

Segue-se que o valor absoluto de um número real x é igual ao seu valor absoluto considerado como uma série complexa, uma vez:

 | X + i0 | = \ sqrt {x ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {x ^ 2} = | x |.

Semelhante à interpretação geométrica do valor absoluto de números reais, segue-se a partir do Teorema de Pitágoras que o valor absoluto de um número complexo é a distância no plano complexo de esse número complexo da origem, e mais geralmente, que o valor absoluto da diferença de dois números complexos é igual à distância entre os dois números complexos.

As ações de valor absoluto complexas todas as propriedades do valor absoluto real dado em proposições 2 e 3 acima. Além disso, Se

 z = x + iy = r (\ cos \ non + i \ sin \ phi) \,

e

\ overline {Z} = x - iy

é o conjugado complexo de z , em seguida, vê-se facilmente que

\ Begin {align} | z | = r &, \\ | z | & = | \ overline {z} | \ end {align}

e

| Z | = \ sqrt {z \ overline {z}},

com a última fórmula sendo o análogo complexo da Proposição 1 mencionado acima, no caso real.

Uma vez que os reais positivos formam um subgrupo dos números complexos sob multiplicação, podemos pensar em valor absoluto como um endomorphism do grupo multiplicativo dos números complexos.

Funções de valor absoluto

A função real valor absoluto é contínua em todos os lugares. É diferenciável em toda a parte, excepto para x = 0. É monotonamente decrescente no intervalo (-∞, 0] e aumenta monotonicamente no intervalo [0, ∞). Uma vez que um número real e o seu negativo têm o mesmo valor absoluto, é uma função mesmo, e não é, portanto,invertida.

complexo função de valor absoluto é contínua em todos os lugares, mas (complexo) diferenciável em nenhum lugar (Uma maneira de ver isso é para mostrar que ele não obedece às equações de Cauchy-Riemann).

Ambas as funções reais e complexos são idempotent.

É uma função não linear.

Anéis ordenados

A definição de valor absoluto dado para os números reais acima pode ser facilmente estendido para qualqueranel ordenada. Isto é, se uma é um elemento de um anel ordenada de R , então o valor absoluto de um , denotado por |  um  |, é definido como sendo:

| A | = \ begin {cases} a, & \ mbox {if} a \ ge 0 \\ -a, & \ mbox {if} a <0, \ end {cases}

em que - um é o inverso aditivo de um , e 0 é o aditivo elemento de identidade.

Distância

O valor absoluto está intimamente relacionado com a idéia de distância. Como observado acima, o valor absoluto de um número real ou complexa é a distância a partir desse número à origem, ao longo da linha de número real, para números reais, ou no plano complexo, para números complexos, e, mais geralmente, o valor absoluto da diferença de dois números reais ou complexos é a distância entre eles.

O padrão de distância euclidiana entre dois pontos

a = (a_1, a_2, \ cdots, a_n)

e

b = (b_1, b_2, \ cdots, b_n)

em euclidiana n -espaço é definido como:

\ Sqrt {(a_1-b_1) ^ 2 + (a_2-b_2) ^ 2 + \ cdots + (a_n-b_n) ^ 2}.

Isto pode ser visto como uma generalização de |  um - b  |, uma vez que, se um e b são reais, em seguida, por uma proposição,

| A - b | = \ sqrt {(a - b) ^ 2}

enquanto se

 a = a_1 + i a_2 \,

e

 b = b_1 + i b_2 \,

são números complexos, então

| A - b | \,  = | (A_1 + i a_2) - (+ i b_1 b_2) | \,
   = | (A_1 - b_1) + i (a_2 - b_2) | \,
   = \ Sqrt {(a_1 - b_1) ^ 2 + (a_2 - b_2) ^ 2}

O quadro acima mostra que o "valor absoluto" à distância para os números reais ou os números complexos, concorda com a distância euclidiana padrão herdam como resultado de considerá-los como o único e espaços euclidianos bidimensionais, respectivamente.

As propriedades do valor absoluto da diferença de dois números reais ou complexos: não negatividade, a identidade dos indiscerníveis, simetria e da desigualdade do triângulo dado em proposições 2 e 3 acima, pode ser vista a motivar a noção mais geral de uma função de distância do seguinte modo:

A função real valorizado d em um conjunto X × X é chamado de função de distância (ou uma métrica ) em X , desde que preencha os quatro axiomas seguintes:

d (a, b) \ 0 ge Non-negatividade
d (a, b) = 0 \ sse a = b Identidade dos indiscerníveis
d (a, b) = d (b, a) \, Simetria
d (a, b) \ le d (a, c) + d (c, b)  Desigualdade Triangle

Derivativos

derivado da função real valor absoluto é a função signum, sgn ( x ), a qual é definida como

\ Sgn (x) = \ frac {x} {x | |},

para x ≠ 0. A função valor absoluto não é diferenciável em x = 0. Quando a função de valor absoluto de um número real retorna um valor sem respeito a seu sinal, a função signum retorna sinal de um número sem respeito ao seu valor. Portanto x = sgn ( x ) abs ( x ). A função signum é uma forma da função de passo Heaviside utilizada no processamento de sinais, definido como:

 u (x) = \ begin {cases} 0, & x <0 \\ \ frac {1} {2}, & x = 0 \\ 1, & x> 0, \ end {cases}

onde o valor da função de Heaviside em zero é convencional. Assim, para todos os pontos diferentes de zero nalinha de número real,

u (x) = \ frac {\ sgn (x) 1} {2}. \,

A função valor absoluto não tem concavidade em qualquer ponto, a função de sinal é constante em todos os pontos. Por conseguinte, o segundo derivado de | x | no que diz respeito a x é zero em todos os lugares com excepção do zero, onde é indefinido.

A função valor absoluto também é integrável. Sua antiderivada é

\ Int | x | dx = \ frac {x | x |} {2} + C.

Campos

As propriedades fundamentais do valor absoluto de números reais dadas proposição 2 acima, pode ser utilizado para generalizar o conceito de valor absoluto a um campo arbitrária, como se segue.

A função real v em um campo F é chamado de um valor absoluto (também um módulo , magnitude , valor , ouvalorização ), se preencher os quatro axiomas seguintes:

v (um) \ 0 um Non-negatividade
v (a) = 0 \ sse a = \ mathbf {0} Positivo-definiteness
em (ab) = v (a), (b), \, Multiplicativeness
v (a + b) \ v (um) + v (b)  Sub aditividade ou a desigualdade do triângulo

Onde 0 indica o aditivo elemento de identidade F . Resulta positiva-definitivização e multiplicativeness que v ( 1) = 1, onde 1 indica o elemento de identidade multiplicativo F . Os valores absolutos reais e complexos acima definidos, são exemplos de valores absolutos de um campo arbitrário.

Se v é um valor absoluto de F , então a função d a F × F , definida por d ( um , b ) = v ( a - b ), é uma métrica e os seguintes são equivalentes:

  • d satisfaz a desigualdade ultramétrica d ( x , y ) d ( x , z ), d ( y , z )}.
  •  \ Grande \ {v \ Big ({\ textstyle \ sum_ {k = 1} ^ n} \ mathbf {1} \ Big): n \ in \ mathbb {N} \ grande \} é limitado em R .
  •  v \ Big ({\ textstyle \ sum_ {k = 1} ^ n} \ mathbf {1} \ Big) \ le 1 \ text {} para cada n \ in \ mathbb {N}.
  •  v (um) \ le 1 \ v Rightarrow (1 + a) \ le 1 \ {texto para um tudo} \ em F.
  •  v (a + b) \ le \ mathrm {max} \ {v (um), v (b), \} \ {texto para todos} a, b \ em F.

Um valor absoluto que satisfaz qualquer (daí todas) das condições acima é dito ser não-Arquimedes , caso contrário, é dito ser de Arquimedes.

Espaços vectoriais

Mais uma vez as propriedades fundamentais do valor absoluto para os números reais podem ser utilizados, com uma ligeira modificação, generalizar a noção de um espaço vetorial arbitrário.

A função real valorizado || · || em um espaço vetorial V sobre um campo F , é chamado de um valor absoluto(ou mais geralmente uma norma ), desde que preencha os seguintes axiomas:

Para todos um em F , e v , u em V ,

\ | \ Mathbf {v} \ | \ ge 0 Non-negatividade
\ | \ Mathbf {v} \ | = 0 \ IFF \ mathbf {v} = 0 Positivo-definiteness
\ | A \ mathbf {v} \ | = | a | \ | \ mathbf {v} \ | Homogeneidade positiva ou escalabilidade positivo
\ | \ Mathbf {v} \ mathbf {u} \ | \ le \ | \ mathbf {v} \ | \ | \ mathbf {u} \ | Sub aditividade ou triângulo desigualdade

A norma de um vector também é chamado seu comprimento ou magnitude .

No caso de espaço euclidiano n , a função definida pela

\ | (X_1, x_2, \ cdots, x_n) \ | = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} (x_i) ^ 2}

é uma norma chamada a norma euclidiana. Quando o números reais R são considerados como o vector unidimensional espaço de R 1 , o valor absoluto é uma norma, e é o p -norm para qualquer p . De fato, o valor absoluto é a norma "apenas" em 1 , no sentido de que, para cada norma || · || em 1 , ||  x  || = || 1 || · |  x  |. O valor absoluto complexo é um caso especial da norma em um espaço com produto interno. Ele é idêntico ao da norma euclidiana, se o plano complexo é identificado com o plano euclidiano 2 . 

Algoritmos

Na linguagem de programação C , a abs () , laboratórios () , llabs () (em C99), fábricas () ,fabsf () , e fabsl () funções calcular o valor absoluto de um operando. Codificação a versão inteira da função é trivial, ignorando o caso limite onde o maior número negativo é de entrada:

abs int (int i)
{
    se (i <0)
        retornar -i;
    mais
        retornar i;
}

As versões de ponto flutuante são mais complicados, como eles têm de lidar com códigos especiais parainfinitos e não-a-número.

A função de valor absoluto em Fortran, Matlab, e GNU Octave é abs . Ele lida com inteiro, verdadeiro, bem como números complexos.

Usando linguagem de montagem, é possível tomar o valor absoluto de um registo em apenas três instruções (dos exemplos a seguir para um registo de 32 bits em uma arquitetura x86, Intel sintaxe):

CDQ
xor eax, edx
sub eax, edx

cdq estende o bit de sinal de eax em EDX . Se eax é não-negativo, então EDX torna-se zero, e os dois últimos instruções não têm nenhum efeito, deixando eax inalterada. Se eax é negativo, então edx se torna 0xFFFFFFFF, ou -1. As próximas duas instruções tornam-se então uma inversão de complemento de dois, dando o valor absoluto do valor negativo em eax .

Fonte: http://schools-wikipedia.org/wp/a/Absolute_value.htm

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