Oscilações são importantes em seu próprio direito. Eles também estão envolvidos em ondas. Este clipe de filme mostra uma onda de torção - primeiro uma onda viajando, então uma onda estacionária. A oscilação de um ponto em que a onda está em destaque. Discutimos isso abaixo .

A física qualitativa de oscilação

No clipe de filme em câmera lenta à direita, a massa desliza sobre um trilho de ar. A faixa é perfurada com furos pequenos, através do qual flui o ar a partir do interior, onde a pressão é superior à atmosférica. Assim, a massa é suportado, como um hovercraft, sobre uma almofada de ar, e atrito é eliminada. Como a velocidade é pequena, a resistência do ar é muito pequena. Por conseguinte, a força não-negigible somente na direcção horizontal é que exercida pelas duas molas. Porque não há deslocamentos verticais, discutimos aqui apenas o deslocamento horizontal.

Na posição de equilíbrio (x = 0 no gráfico abaixo o clipe), as forças exercidas pelas duas molas são iguais em grandeza mas em direção oposta, de modo a força total é zero. À direita do equilíbrio, a força actua para acelerar a massa para a esquerda, evice-versa . (O gráfico é girado de 90 ° a partir de sua orientação normal para que possamos compará-lo com o movimento.)

Vamos começar (como fazer o gráfico e animação) com a massa para a direita de equilíbrio e em repouso. Vamos ver o que acontece quando eu liberá-lo:

• Em primeiro lugar, a força da mola actua para a esquerda e da massa é acelerado para x = 0.
• Quando atinge x = 0, ele tem uma velocidade e, portanto, um impulso para a esquerda. (Near equilbrium, as forças são pequenas, então não é uma região perto de x = 0 sobre o qual a velocidade muda pouco:. O gráfico x (t) é quase em linha reta)
• Quando se chega em x = 0, por causa do seu impulso para a esquerda, overshoots, isto é, ele continua para viajar para a esquerda. Embora seja para a esquerda de x = 0, no entanto, a força da mola actua para a direita. Esta força gradualmente diminui a massa até que ela pare. O ponto em que ele pára, é claro, a sua deslocação máxima para a esquerda.
• Uma vez que é parado no lado esquerdo do equilíbrio, a força da mola acelera para a direita, de modo a velocidade do impulso e para o aumento direita.
• Quando se atinge o equilíbrio novamente, agora tem seu momento máximo rightwards.
• Ele ultrapassa e continua para a direita. A força da mola actua agora para a esquerda, de modo que desacelera até parar no seu deslocamento rightwards máxima.

A análise quantitativa

Estados segunda lei de Newton que a aceleração d ² x / dt ²  do sujeito massa m de força total F satisfaz F = md ² x / dt ²  , o que dá a equação diferencial

• md 2 x / dt 2   = - kx, ou 
  d 2 x / dt 2   = - ômega 2  x, onde ω 2   = k / m.

x = A sin (ωt φ +),

onde A é a amplitude ea fase constante φ é determinada pelas condições iniciais. Discutimos estes abaixo.

As condições iniciais

No primeiro filme mostrado mostrado à direita, a massa é libertado a partir de descanso, de modo a amplitude é máxima (x = A) em t = 0, então a fase necessária constante é φ = π / 2. (Na verdade, para este caso particular, poderíamos dizer que a curva é uma função cos, em vez de um seno.)

x ₁   = A sen (ωt + π / 2) = A cos (ωt)

No segundo filme mostrado à direita, no entanto, a massa é dado um início impulsiva, então a condição inicial aproxima velocidade máxima e X = 0 em t = 0. Isto requer φ = 0, de modo

x ₂   = sen A (ωt + 0) = A sen (ωt)

Aqui começamos com uma velocidade inicial, que é

• v 0   = dx 2 / dt = A = ωt pecado Aω

Em ambos estes grampos, uma linha de rotação (um animadodiagrama fasorial ) é usado para mostrar que um movimento harmónico simples é a projecção para uma dimensão de movimento circular. Isto é explicado em detalhe na cinemática do movimento harmônico simples em Physclips.

Os fasores são comumente usados ​​para facilitar os cálculos emcircuitos AC .

F frequência e frequência angular ω

Vimos acima que x = A sin (ωt + φ), onde ω ²   = k / m. A frequência cíclica é f = 1 / T, onde T é o período. A função seno passa por um ciclo completo, quando aumenta o seu argumento 2π, então nós solicitamos que (ω (t + T) + φ) - (ωt + φ) = 2π, então ωT = 2π, então

• ω = 2π / T = 2πf = (k / m) ½  .

Este parâmetro é determinado pelo sistema: a massa específica e da mola usada. Para um sistema linear, a frequência é independente da amplitude (ver abaixo, no entanto, uma para sistema não-linear ).

Compare as oscilações mostradas nos dois clipes à direita. O primeiro usa um planador trilho de ar eo segundo utiliza dois planadores semelhantes, de modo a massa é dobrada. O período é aumentada em cerca de 40%, isto é . por um factor de √ 2, de modo a frequência é diminuída pelo mesmo factor.

Embora não seja tão fácil de ver no vídeo, à direita usamos molas mais duras com um maior valor de k. Aqui, o período é mais curto e, portanto, a frequência mais elevada do que em todos os exemplos anteriores.

Energia Mecânica em movimento harmônico simples

Porque sabemos que x, o deslocamento do equilíbrio, sabemos que a energia potencial U, que é apenas a de uma mola linear.Tomando o zero de energia potencial em x = 0, U = ½ kx ² .Aqui,

U = ½ kx ²   = ½ k A ²  pecado ²  . (ωt φ +)

• x = A sin (ωt φ +) para

Porque sabemos que v, a velocidade na direção x, nós sabemos que a energia cinética K.

K = ½ mv ²   = ½ m ω ² A ²  cos ²  (ωt φ +).

• v = ωA cos (ωt φ +) de modo

• E = U + K = ½ kx 2  + ½ mv 2   = ½ kA 2  cos 2  (ωt + φ) + ½ k A 2  sin 2  (ωt φ +).

• E = U + K = ½ kA 2 ,

que é uma constante: ela não depende do tempo. Isto é devido a faixa de ar: aqui, não não negligenciável forças não conservativasato, de modo a energia mecânica é conservada . U (em púrpura, como x), K (em vermelho, como v) e E (a preto) são mostrados como funções do tempo no gráfico animado à direita: a energia mecânica é continuamente trocados entre potencial e cinética.

No extremos do movimento, em que | x | = A, a velocidade é zero, de modo

• quando | x | = A, K = 0 e U = U max   = ½ kA 2   = E.

• quando x = 0, U = 0 e K = K max   = E.

• K max  = ½ mv max 2    = ½ kA 2   = U max   = E.

O pêndulo não-linear

Os pêndulos são fáceis de fazer e seus períodos pode ser medido com precisão. Além disso, porque eles são apenas simples osciladores harmónicos na aproximação pequeno ângulo analisado acima, eles fornecem um bom sistema para exibir os efeitos de não-linearidade. Este é o propósito dos clipes de filme abaixo, que mostram como, para o oscilador não linear, o período varia com amplitude e, em amplitudes de grandes dimensões, o movimento não é sinusoidal.

Oscilações amortecidas

Assim, para esta força especial de amortecimento , devemos esperar uma oscilação cuja amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

• Analisando esse caso em uma dimensão, poderíamos escrever
• • F perda   = - bv = - b dx / dt.
• Vamos adicionar este termo para a análise apresentada  . A segunda lei de Newton é Σ F = md 2 x / dt 2  , o que dá a equação diferencial

• d ² x / dt ²  + 2β dx / dt + ω ₀ ²  x = 0, onde ω ₀ ²   = k / m, e β b/2m =.

  • md 2 x / dt 2   = - kx - b dx / dt, ou
• Podemos verificar pela possibilidade de substituição que esta equação diferencial tem uma solução
• • x = A e -βt  sin (ωt φ +), onde ω 2   = ω 0 2  - β 2 .

O que está acontecendo aqui? Porque é que a deterioração mais rápida do que exponencial? Os líquidos com moléculas de cadeia longa frequentemente apresentam não-Newtoniano viscosidade. Quando o gradiente de velocidade é suficientemente grande, as forças de cisalhamento tendem a alinhar as moléculas em ângulos rectos com o gradiente de velocidade, o que reduz a viscosidade. Imagino que a graxa no rolamento está se comportando desta maneira. O número relativamente limitado de perdas lineares em fases condensadas é matematicamente inconveniente, porque a equação linear é muito mais fácil de manipular analiticamente. Linear de amortecimento não existe, mas os sistemas reais raramente são tão simples.

Oscilações Forçadas

d ² x / dt ²  + 2β dx / dt + ω ₀ ²  x = f (t) / m.

Ressonância

Como o trabalho feito ser esta força externa dependem de ω ₀ ? Se a força é aplicada na mesma direcção que o movimento, em seguida, o trabalho feito será positivo. Se ω ≠ ω ₀ , então podemos esperar que, por vários períodos, haveria alguns períodos para os quais a velocidade ea força externa estavam na direção smae, mas estes tendem a cancelar. Por outro lado, se ω ≅ ω ₀ , e se a fase entre elas eram adequados, pode-se imaginar casos em que o trabalho feito ao longo de vários ciclos seriam de grande porte. ω ₀ é chamado th frequência de ressonância e do sistema .

Os dois clipes abaixo mostram a importância da frequência e fase da força externa.

Link para o clipe de filme

Às vezes o termo perda, βω, é difícil de medir directamente, de modo em vez disso, medir o factor de qualidade , Q, definida como Q = ω ₀ Δω /, a razão entre a frequência de ressonância para a largura de banda, onde Δω é a diferença entre as frequências que dar metade da potência máxima, ou amplitudes reduzidos por √ 2. Usando a expressão acima para A, os pontos de meia potência ocorrer quando ω ²  - ω ₀ ²  = 2βω. Resolver este quadrática dá ω = β ± √ (β ² + ω ₀ ² ). Para razoavelmente elevado Q, isto é, quando Δω << ω ₀ , podemos usar a expansão binomial para dar ω ≅ ω ₀ (1 ± β / ω ₀ ), o que dá β ≅ 2ω ₀ / Q. Este, em seguida, dá a amplitude em ressonância como A ₀  ≅ F ₀ Q/4mω ₀² = F ₀ / 4mω ₀ Δω. Isso faz sentido qualitativo: a amplitude é, obviamente, grande para grandes e F m pequeno, é pequeno em alta freqüência quando não há tempo suficiente por ciclo para deslocar-se muito, e grande se a ressonância é forte, ou seja, se o fator Q é alto ou baixo a largura de banda.

Estas expressões aplicar a um sistema com perdas lineares, em que a força de dissipação é proporcional à velocidade, como é o caso para vicosity. As perdas não-lineares que muitas vezes encontra nas equações de rendimento que a prática (drag dinâmica, por exemplo) são bastante mais difíceis de resolver e não são tratados aqui. Na equação acima, φ é a fase em que x (t) está à frente de F (t). Em baixa freqüência (ω << ω ₀ ), φ é quase zero: a força desprezível é necessária para acelerar a massa, então a força motriz simplesmente empurra a mola: F = kx. Inversamente, a alta frequência (ω >> ω ₀ ), φ é perto de 180 ° e da força e de deslocamento estão em antifase. Em ressonância (ω = ω ₀ ), φ = 90 ° ea força motriz está em fase com a velocidade.

Não discutimos aqui o comportamento transitório : a forma como o sistema responde quando a força externa é "ligado" ou "desligado". Exemplos são mostrados, no entanto, nos clipes de filme acima.

• Vamos ser quantitativa, por adição de uma força externa (F 0  ωt sin) para a nossa  , o que produz a equação

• d ² x / dt ²  + 2β dx / dt + ω ₀ ²  x = (1 / m) F ₀  ωt pecado.
• onde novamente ω 0 = k / m. Como está escrito, esta equação se aplica a uma força externa aplicada ao longo de um tempo muito longo: não fizemos menção de quando e como a força começa. Então, vamos considerar o que acontece no estado de repouso , o estado em que o trabalho média que está sendo feito por (F 0  sin ωt) é igual a taxa média na qual a energia está sendo dissipada pela  (F perda   = - bv = - (2β / m) dx / dt). Podemos verificar por substituição que a solução para esta equação é
• • x = A sen (ωt φ +), onde A = (F 0  / m) ( (ω 2  - ω 0 2 ) 2  + (2βω) 2 ) - ½      e onde φ tan = 2βω / (1 ​​- (ω / ω 0 ) 2 ).
• Note-se que, neste estado quiescente, a amplitude é grande, se ω 0  ≅ ω 0 e se o termo perda, ωβ, é pequena, isto é . se as forças dissipativas não estão fazendo o trabalho a uma taxa grande. Em ressonância (isto é, quando ω = ω 0 ), a amplitude é A = F 0 / 2βωm.

Veja também os nossos experimentos com ressonância e oscilação forçada .

Ressonância em uma dimensão

O clipe de filme abaixo mostra uma onda num meio unidimensional.

As ondas neste clip são ondas de torção θ = θ (x, t). A linha recta através da imagem é uma tira de aço (uma lâmina de uma serra de fita), ao qual estão ligados os braços longos que tornam o deslocamento angular visível. Por conveniência, o campo gravitacional foi rodado de 90 ° neste clip.

Vamos estudar estes efeitos no capítulo sobre ondas estacionárias. Para o momento, porém, vamos analisar rapidamente a outros exemplos.

Ressonância em duas dimensões

Ressonância em três dimensões

Em três dimensões, podemos exite oscilações com deslocamento ξ = ξ (x, y, z, t). Em geral, isso é duro para mostrar em uma tela bidimensional, exceto em animação. A queda de clipe de água abaixo à esquerda foi feita por Don Pettit em queda livre, na Estação Espacial Internacional. O movimento é complicada, mas lento devido a força de restauração é a tensão superficial da água, o que é bastante pequena nesta escala. O clipe vinculado abaixo à direita é um filme muito famoso, usado regularmente para lembrar os alunos de engenharia da importância de ressonâncias em estruturas.