ALGEBRA

Álgebra é um ramo da matemática sobre o estudo da estrutura , relação e quantidade. O nome é derivado do tratado escrito em árabe pelo persa matemático, astrônomo,astrólogo e geógrafo, Muhammad bin Musa al-Khwarizmi intitulado Kitab al-Jabr wa-l-muqabala (que significa " O Livro Compendious sobre Cálculo de Conclusão e Balanceamento " ), que forneceu as operações simbólicas para a solução sistemática de lineares e equações de segundo grau .

Juntamente com a geometria , análise , análise combinatória e teoria dos números , álgebra é um dos principais ramos da matemática . álgebra elementar é muitas vezes parte do currículo na educação secundária e fornece uma introdução às ideias básicas da álgebra, incluindo efeitos da adição e multiplicação números , o conceito de variáveis, definição de polinômios , junto com fatoração e determinação de suas raízes.

Álgebra é muito mais amplo do que a álgebra elementar e pode ser generalizada. Além de trabalhar diretamente com os números, álgebra abrange trabalhar com símbolos, variáveis ​​e constantes elementos.Adição e multiplicação são vistos como gerais de operações e suas definições precisas levar a estruturas comogrupos , anéis e campos.

Classificação

Álgebra pode ser dividida aproximadamente nas seguintes categorias:

• Álgebra elementar , em que as propriedades de operações no sistema de números reais são registrados através de símbolos como "lugar titulares" para denotar constantes e variáveis, e as regras que regem as expressões matemáticas e equações que envolvem esses símbolos são estudados (note que isso geralmente inclui o tema questão de cursos chamados álgebra intermediária e álgebra faculdade ), também chamados de segundo ano e terceiro ano álgebra;
• Álgebra abstrata , às vezes também chamado de álgebra moderna , em que estruturas algébricas , comogrupos , anéis e os campos são axiomaticamente definido e investigados; Isso inclui, entre outros campos,
• Álgebra linear , em que as propriedades específicas dos espaços vetoriais são estudados (incluindomatrizes );
• Álgebra Universal , em que as propriedades comuns a todas as estruturas algébricas são estudados.
• Teoria dos números algébricos , em que as propriedades dos números são estudados através de sistemas algébricos. A teoria dos números inspirou grande parte da abstração original na álgebra.
• Geometria Algébrica no seu aspecto algébrico.
• Combinatória algébricas , nos quais métodos algébricos abstratos são usados ​​para estudar questões combinatória.

Em algumas indicações de estudos avançados, sistemas algébricos axiomático tais como grupos, anéis, campos e álgebras sobre um campo são investigadas na presença de um geométrico estrutura (uma métrica ou uma topologia ) que é compatível com a estrutura algébrica. A lista inclui um número de áreas de análise funcional:

Álgebra Elementary

Álgebra elementar é a forma mais básica de álgebra. É ensinado aos alunos que se presume ter nenhum conhecimento de matemática para além dos princípios básicos da aritmética . Na aritmética, apenas números e suas operações aritméticas (como +, -, ×, ÷) ocorrer. Em álgebra, os números são frequentemente designados por símbolos (tais como um , x ou y ). Isto é útil porque:

• Ele permite que a formulação geral da lei aritméticos (tal como um + b = b + um para todo um e b ), e, portanto, é o primeiro passo para uma exploração sistemática das propriedades do sistema de números reais .
• Ele permite que a referência aos números de "desconhecidos", a formulação de equações e no estudo de como resolver estes (por exemplo, "Encontrar um número x tal que 3 x + 1 = 10 ").
• Ele permite a formulação de funcionais relacionamentos (como "Se você vender x ingressos, então seu lucro será de 3 x - 10 dólares, ou f ( x ) = 3 x - 10, onde f é a função, e x é o número ao qual a função é aplicada. ").

Polinômios

Um polinômio é uma expressão que é construído a partir de uma ou mais variáveis ​​e constantes, usando apenas as operações de adição, subtração, multiplicação e (onde multiplicação repetida da mesma variável é standardly denotado como exponenciação com um número inteiro expoente positivo constante). Por exemplo, é um polinômio na única variável x .

Uma importante classe de problemas em álgebra é factorization de polinómios, isto é, que expressa um dado polinomial como um produto de outros polinomiais. O exemplo polinômio acima pode ser contabilizado como uma classe relacionada dos problemas é encontrar expressões algébricas para as raízes de um polinômio em uma única variável.

álgebra abstrata

Algebra abstrata estende os conceitos familiares encontrados em álgebra elementar e aritmética dos númerosa conceitos mais gerais.

Sets : Ao invés de apenas considerando os diferentes tipos de números , abstrato promoções de álgebra com o conceito mais geral de conjuntos : a coleção de todos os objetos (chamados elementos) selecionados pela propriedade, específicas para o conjunto. Todas as coleções dos tipos familiares de números são conjuntos.Outros exemplos de conjuntos incluem o conjunto de todos os dois-por-dois matrizes , o conjunto de todas as de segundo grau polinômios ( ax ² + bx + c ), o conjunto de todas as duas dimensões vetores no plano, e os váriosgrupos finitos tais como os grupos cíclicos que são o grupo de inteiros modulo n . A teoria dos conjuntos é um ramo da lógica e não tecnicamente um ramo da álgebra.

Operações binárias : a noção de adição (+) é abstraída para dar uma operação binária , * dizer. A noção de operação binária não tem sentido sem o conjunto em que a operação está definida. Por dois elementos de um eb em um conjunto S a * b dá um outro elemento do conjunto; esta condição é chamada de encerramento. A adição (+), subtração (-), multiplicação (×) e divisão (÷) podem ser operações binárias, quando definido em conjuntos diferentes, como é adição e multiplicação de matrizes, vetores e polinômios.

Elementos de identidade : os números zero e um são abstraídos para dar a noção de um elemento de identidade para uma operação. Zero é o elemento de identidade para adição e um é o elemento neutro para a multiplicação. Para um operador binário geral * a identidade elemento e deve satisfazer um * e = um e e * a = a .Isto é para ser adicionado como um + 0 = um e 0 + um = um e multiplicação um × 1 = um e 1 × um = um . No entanto, se tomarmos os números naturais positivos e além disso, não há nenhum elemento de identidade.

Elementos inversos : Os números negativos dar origem ao conceito de elementos inversos . Para além disso, o inverso de uma é -a , para a multiplicação e o inverso é 1 / um . Um elemento inverso geral a ^-1 deve satisfazer a propriedade de que a * a ^-1 = e e um ^-1 * a = e .

Associatividade : Adição de números inteiros tem uma propriedade chamada associatividade. Ou seja, o agrupamento dos números a ser adicionada não afecta a soma. Por exemplo: (2 + 3) + 4 + 2 = (3 + 4). Em geral, este torna-se ( uma * b ) * c = um * ( b * c ). Esta propriedade é compartilhada pela maioria das operações binárias, mas não subtração ou divisão ou multiplicação octonion.

Comutatividade : Adição de inteiros também tem uma propriedade chamada comutatividade. Ou seja, a ordem dos números a ser adicionado não afecta a soma. Por exemplo: 2 + 3 + 2 = 3. Em geral, este torna-se um * b = b* um . Apenas algumas operações binárias têm essa propriedade. Ele vale para os inteiros com adição e multiplicação, mas não vale para a multiplicação de matrizes ou multiplicação quaterniões.

Grupos-estruturas de um conjunto com uma única operação binária

Combinando os conceitos acima dá uma das estruturas mais importantes em matemática: um grupo . Um grupo é uma combinação de um conjunto S e uma única operação binária '*', definida em qualquer maneira que você escolher, mas com as seguintes propriedades:

• Um elemento de identidade e existe, de tal forma que para cada membro um de S , e * um e um * e são ambos idêntica à uma .
• Cada elemento tem um inverso: para cada membro um de S , existe um membro de uma ^-1 de tal modo queum * uma ^-1 e uma ^-1 * um tanto são idênticos ao elemento de identidade.
• A operação é associativa: se um , b e c são membros de S , então ( a * b ) * c é idêntico a um * ( b * c ).

Se um grupo é também conmutativo - isto é, por quaisquer dois membros um e b de S , um * b é idêntico a b *um - em seguida, o grupo é dito ser Abeliana.

Por exemplo, o conjunto dos números inteiros no âmbito da operação de adição é um grupo. Neste grupo, o elemento de identidade é 0 e o inverso de qualquer elemento de uma é a sua negação, - um . O requisito associamento é cumprida, porque para quaisquer inteiros um , b e c , ( um + b ) + c = um + ( b + c )

Os diferentes de zero números racionais formam um grupo sob a multiplicação. Aqui, o elemento de identidade é 1, a partir de 1 × um = a × 1 = a para qualquer número racional um . O inverso de um é um / uma , desde um × 1 / um = 1.

Os inteiros sob a operação de multiplicação, no entanto, não formam um grupo. Isto é porque, em geral, o inverso multiplicativo de um número inteiro não é um número inteiro. Por exemplo, é um número inteiro 4, mas o seu inverso multiplicativo é de 1/4, o que não é um número inteiro.

A teoria de grupos seja estudada em teoria grupo . Um resultado importante nesta teoria é a classificação dos grupos finitos simples, publicados principalmente entre cerca de 1955 e 1983, que é pensado para classificar todos os finitos simples grupos em cerca de 30 tipos básicos.

Exemplos
Set:	Números naturais		Inteiros		Números racionais  (também reais e complexos  números)				Inteiros mod 3: {0,1,2}
Operação	+	× (w / o zero)	+	× (w / o zero)	+	-	× (w / o zero)	÷ (w / o zero)	+	× (w / o zero)
Fechado	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim
Identidade	0	1	0	1	0	N / D	1	N / D	0	1
Inverso	N / D	N / D	-a	N / D	-a	N / D		N / D	0,2,1, respectivamente	NA, 1, 2, respectivamente
Associativo	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Sim	Não	Sim	Sim
Comutativa	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Sim	Não	Sim	Sim
Estrutura	Monoid	Monoid	Grupo Abelian	Monoid	Grupo Abelian	quasigroup	Grupo Abelian	quasigroup	Grupo Abelian	Grupo Abelian ( )

Semigroups, quasigroups e monoids são estruturas semelhantes a grupos, mas mais geral. Eles compreendem um conjunto e uma operação binária fechado, mas não necessariamente satisfazer as outras condições. Asemigroup tem um associativa operação binária, mas pode não ter um elemento de identidade. A monoid é um semigrupo que tem uma identidade, mas pode não ter uma inversa para cada elemento. Um quasigroup satisfaz o requisito de que qualquer elemento pode ser transformado em qualquer outro por uma operação de pré ou pós único; no entanto, a operação binária pode não ser associativa. Todos são exemplo de grupóides, estruturas com uma operação binária sobre a qual são impostas há mais condições.

Todos os grupos são monoids, e todos os monoids são semigroups.

Anéis e campos-estruturas de um conjunto com duas operações binárias particulares, (+) e (×)

Grupos de ter apenas uma operação binária. Para explicar o comportamento dos diferentes tipos de números, estruturas com dois operadores precisam ser estudados. A mais importante delas são anéis e campos.

Distributividade generalizou a lei distributiva para os números, e especifica a ordem em que os operadores devem ser aplicados, (chamado de prioridade). Para os números inteiros ( um + b ) x = c um × c + b x c e c × (um + b ) = c × um + c × b , e x é dito ser distributiva sobre +.

Um anel tem duas operações binárias (+) e (x), com mais de distributiva × +. De acordo com o primeiro operador (+) forma um grupo abeliano . De acordo com o segundo operador (x) é associativo, mas não precisa de ter uma identidade, ou inversa, de modo que a divisão não é permitido. O elemento de identidade aditivo (+) é escrito como 0 e o aditivo inversa de uma for escrito como - um .

Os inteiros são um exemplo de um anel. Os inteiros ter propriedades adicionais que tornam um domínio integral .

Um campo é um anel com a propriedade adicional de que todos os elementos excluindo 0 formam um grupo abeliano sob ×. O (x) identidade multiplicativo é escrito como um eo inverso multiplicativo de um está escrito como uma ^-1 .

Os números racionais, os números reais e os números complexos são exemplos de campos.

Objetos chamados álgebras

A palavra álgebra também é usado para várias estruturas algébricas :

• Álgebra sobre um campo ou, mais geralmente Álgebra sobre um anel
• Álgebra sobre um conjunto
• Álgebra booleana
• F-álgebra e F-coalgebra na teoria da categoria
• Sigma-álgebra

História

Uma página do Al-Khwarizmi 's al-Kitab al-muḫtaṣar Fi Hisab al-Gabr-l-muqabala

As origens da álgebra pode ser rastreada até os antigos babilônios, que desenvolveram um avançado sistema de aritmética com os quais eles foram capazes de fazer cálculos de uma forma algébrica. Com a utilização deste sistema que eles foram capazes de aplicar fórmulas e calcular soluções para valores desconhecidos para uma classe de problemas tipicamente resolvido hoje, usandoequações lineares , equações do segundo grau , e equações lineares indeterminados. Em contrapartida, a maioria dos egípcios da época, e maisindiana , grega e matemáticos chineses no primeiro milênio aC, geralmente resolvidos tais equações por geométricas métodos, tais como os descritos naRhind Papyrus , Sulba Sutras , de Euclides Elements , e The Nine Capítulos da Arte Matemática . O trabalho geométrico dos gregos, tipificado no Elements , forneceu a estrutura para generalizar fórmulas para além da solução de problemas específicos em sistemas mais gerais de afirmar e resolução de equações.

Mais tarde, os matemáticos indianos desenvolveram métodos algébricos para um alto grau de sofisticação. Apesar de Diofanto e os babilônios usaram métodos ad hoc principalmente especiais para resolver equações, Brahmagupta foi o primeiro a resolver equações, utilizando métodos gerais. Ele resolveu as equações indeterminadas lineares, equações do segundo grau, de segunda ordem equações indeterminadas e equações com múltiplas variáveis.

A palavra "álgebra" é nomeado após o árabe palavra " al-jabr "do título do livro al-Kitab al-muḫtaṣar fī Hisab al-Gabr wa-l-muqabala , significando O livro de sumários de Cálculo por Transposição e Redução , um livro escrito pelo matemático persa Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi em 820. A palavra Al-Jabr significa "reunião" . O matemático helenístico Diophantus tem sido tradicionalmente conhecido como "o pai da álgebra", mas agora existe debate quanto à possibilidade ou não de Al-Khwarizmi deve levar esse título. Aqueles que apoiam ponto Al-Khwarizmi para o fato de que muito do seu trabalho sobre redução ainda está em uso hoje em dia e que ele deu uma explicação exaustiva de resolver equações de segundo grau. Aqueles que apoiam ponto Diophantus para o fato de que a álgebra encontrado em Al-Jabr é mais fundamental do que a álgebra encontrado emArithmetica e que Arithmetica é sincopado enquanto Al-Jabr é totalmente retórica. Outro matemático persa,Omar Khayyam, desenvolvido geometria algébrica e encontrou a solução geométrica geral da equação cúbica.Os matemáticos indianos Mahavira e Bhaskara II, e do matemático chinês Zhu Shijie, resolvido vários casos de cúbicos, quartic, quinto grau e de ordem superior polinomiais equações.

Outro evento chave no desenvolvimento da álgebra foi a solução algébrica geral das equações cúbicas e quárticas, desenvolvido em meados do século 16. A idéia de um determinante foi desenvolvido pelomatemático japonesa Kowa Seki no século 17, seguido por Gottfried Leibniz , dez anos depois, com a finalidade de sistemas de equações lineares simultâneas, em resolução de matrizes . Gabriel Cramer também fez alguns trabalhos sobre as matrizes e determinantes na do século 18. Abstract álgebra foi desenvolvido no século 19, inicialmente focando no que agora é chamado de teoria de Galois , e sobre questões construtibilidade.

As etapas do desenvolvimento da álgebra simbólica são mais ou menos da seguinte forma:

• Álgebra retórica, que foi desenvolvido pelos babilônios e permaneceu dominante até o século 16;
• Álgebra construtiva geométrica, que foi acentuada pelos matemáticos gregos e indianos clássicos védicos;
• Sincopado álgebra, como desenvolvido por Diofanto, Brahmagupta eo Bakhshali Manuscrito ; e
• Álgebra simbólica, que foi iniciada por Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasādī e vê o seu ponto culminante na obra de Gottfried Leibniz .

Capa da edição de 1621 de Diofanto Arithmetica , traduzido em latim por Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Uma linha do tempo da evolução algébricas principais são as seguintes:

• Por volta de 1800 aC: The Old babilônico tablet Strassburg busca a solução de uma equação quadrática elíptica.
• Por volta de 1600 aC: The Plimpton 322 tablet dá uma tabela de Pitágoras triplica em babilônico roteiro cuneiforme.
• Por volta de 800 aC: o matemático indiano Baudhayana, em suaBaudhayana Sulba Sutra , descobre trios pitagóricos algebricamente, encontra soluções geométricas de equações lineares e equações de segundo grau do machado formas ² = c e ax ² + bx = c, e encontra dois conjuntos de integrante positivo soluções para um conjunto de simultâneosequações diofantinas.
• Por volta de 600 aC: o matemático indiano Apastamba, em sua Apastamba Sulba Sutra , resolve a equação linear geral e utiliza equações diofantinas simultâneas com até cinco incógnitas.
• Por volta de 300 aC: No Livro II de seus Elementos, Euclides dá uma construção geométrica com ferramentas euclidianas para a solução da equação quadrática para as raízes reais positivos. A construção deve-se à Escola Pitagórica da geometria.
• Por volta de 300 aC: A construção geométrica para a solução da cúbico é procurado (duplicando o problema cubo). É agora bem conhecido que o cúbico geral não tem essa solução usando ferramentas Euclidiana .
• Por volta de 100 aC: equações algébricas são tratados no livro de matemática chinesa Jiuzhang suanshu (Os Nove Capítulos da Arte Matemática ), que contém soluções de equações lineares resolvido usando aregra da falsa posição de casal, soluções geométricas das equações do segundo grau, e as soluções de matrizes equivalentes ao método moderno, para resolver sistemas de equações lineares.
• Por volta de 100 aC: O Bakhshali Manuscrito escrito em Índia antiga usa uma forma de notação algébrica usando as letras do alfabeto e outros sinais, e contém equações cúbicas e quárticas, soluções algébricas deequações lineares com até cinco incógnitas, a fórmula algébrica geral para o equação quadrática, e soluções de equações do segundo grau indeterminados e de equações simultâneas.
• Por volta de 150 dC: Hero of Alexandria trata equações algébricas em três volumes da matemática.
• Cerca de 200: Diofanto, que viveu no Egito e é muitas vezes considerado o "pai da álgebra", escreve seu famoso Arithmetica , um trabalho com soluções de equações algébricas e sobre a teoria dos números.
• 499: o matemático indiano Aryabhata, em seu tratado Aryabhatiya , obtém soluções de números inteiros para equações lineares por um método equivalente ao moderno, descreve a solução integral geral da equação linear indeterminado e dá soluções integrais de equações lineares simultâneas indeterminados.
• Cerca de 625: matemático chinês Wang Xiaotong encontra soluções numéricas de equações cúbicos.
• 628: o matemático indiano Brahmagupta, em seu tratado Brahma Cuspe Siddhanta , inventa o chakravalamétodo de resolução de equações do segundo grau indeterminados, incluindo a equação de Pell, e estabelece regras para a resolução de equações linear e quadrática.
• 820: A palavra álgebra é derivado de operações descritas no tratado escrito pelo matemático persaMuhammad ibn Musa al-Ḵwārizmī intitulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-muqabala (que significa "O Livro Compendious sobre Cálculo de Conclusão e Balanceamento") sobre a solução sistemática de lineares eequações quadráticas . Al-Khwarizmi é muitas vezes considerado como o "pai da álgebra", grande parte cujas obras sobre a redução foi incluído no livro e adicionado a muitos métodos que temos na álgebra agora.
• Cerca de 850: matemático persa al-Mahani concebeu a idéia de reduzir problemas geométricos, comoduplicação do cubo para os problemas de álgebra.
• Cerca de 850: o matemático indiano Mahavira resolve várias equações do segundo grau, cúbicos, quartic, quintic e de ordem superior, bem como indeterminados equações do segundo grau, cúbico e de ordem superior.
• Cerca de 990: persa Abu Bakr al-Karaji, em seu tratado al-Fakhri , desenvolve álgebra, alargando a metodologia de Al-Khwarizmi para incorporar poderes integrais e raízes integrantes de quantidades desconhecidas. Ele substitui operações geométricas da álgebra com operações aritméticas modernos, e define os monômios x, x ² , x ³ , ... e 1 / x, 1 / x ² , 1 / x ³ , ... e dá regras para os produtos de qualquer dois destes.
• Circa 1050: matemático chinês Jia Xian encontra soluções numéricas de equações polinomiais.
• 1072: matemático persa Omar Khayyam desenvolve a geometria algébrica e, no Treatise on Demonstração de Problemas de Álgebra , dá uma classificação completa das equações cúbicos com soluções geométricas gerais encontrados por meio de interseção seções cônicas.
• 1114: o matemático indiano Bhaskara, em sua Bijaganita ( Álgebra ), reconhece que um número positivo tem tanto um positivo e negativo raiz quadrada , e resolve várias equações polinomiais cúbicos, quartic e de ordem superior, bem como a equação quadrática indeterminant geral.
• 1202: Algebra é introduzido para a Europa , em grande parte graças ao trabalho de Leonardo Fibonacci dePisa em sua obra Liber Abaci .
• Circa 1300: matemático chinês Zhu Shijie lida com álgebra polinomial, resolve equações do segundo grau, equações simultâneas e equações com até quatro incógnitas, e numericamente resolve alguns quartic,quintic e de ordem superior equações polinomiais.
• Circa 1400: o matemático indiano Madhava de Sangamagramma encontra métodos iterativos para solução aproximada de equações não lineares.
• Circa 1450: matemático árabe Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasādī levou "os primeiros passos para a introdução do simbolismo algébrico. " Ele representou símbolos matemáticos usando caracteres do alfabeto árabe.
• 1535: Nicolo Fontana Tartaglia e outros matemáticos na Itália resolvido de forma independente a equação cúbica geral.
• 1545: Girolamo Cardano publica magna Ars - A grande arte que dá a solução da Fontana à equação quartic geral.
• 1572: Rafael Bombelli reconhece as raízes complexas da cúbico e melhora a notação atual.
• 1591: Francois Viète desenvolve uma melhor notação simbólica para vários poderes de um desconhecido e usa vogais e consoantes para incógnitas para constantes em In Artem analyticam Isagoge .
• 1631: Thomas Harriot em uma publicação póstuma usa a notação exponencial e é o primeiro a usar símbolos para indicar "menos do que" e "maior que".
• 1682: Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolve sua noção de manipulação simbólica com regras formais que ele chama de characteristica generalis .
• 1680: matemático japonesa Kowa Seki, em seu método de resolver os problemas dissimuladas , descobre odeterminante , e números de Bernoulli.
• 1750: Gabriel Cramer, em seu tratado Introdução à análise de curvas algébricas , afirma regra e estudos de Cramer algébrica curvas, as matrizes e determinantes.
• 1824: Niels Henrik Abel provou que a equação de grau geral é insolúvel por radicais.
• 1832: teoria de Galois é desenvolvido pela Évariste Galois em seu trabalho sobre álgebra abstrata.

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